1、2020-2021学年下学期宣化一中高三数学阶段模拟试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合，若，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 2. i是虚数单位，在复平面内复数对应的点的坐标为A. B. C. D. 3. 已知a，b，c是实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的增区间为A. B. C. D. 5. 用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为A. B. C. D. 6
2、. 如果在一次实验中，测得的四组数值分别是，则y对x的线性回归方程是A. B. C. D. 7. 令，则A. B. C. D. 8. 函数，k，则函数在区间上的零点最多有A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有A. B. C. D. ，的夹角是钝角10. 已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有附：随机变量服从正态分布，则A. 该校学生成绩的期望为110B. 该校学生成绩的标准差为9C. 该校学生成绩的标准差为81D. 该校
3、学生成绩及格率超过11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论中正确的有A. B. C. D. 12. 设函数的定义域为D，若存在常数a满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数，则下列结论中正确的有A. 函数是函数B. 函数是函数C. 若函数是函数，则D. 若函数是函数，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为_ 14. 函数
4、的最小正周期为_ 15. 已知椭圆：的右焦点F也是抛物线：的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数 _ ，椭圆的离心率 _ 16. 已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是_ 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设等比数列的公比为，前n项和为若，求的值；若，且，求m的值18. 已知中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求sinA的值；若，求tanC的值19. 已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次求“该射手射中固
5、定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；求该射手的总得分X的分布列和数学期望20. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是矩形，平面平面ABCD，二面角的大小为求证：平面ABCD；求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值21. 已知函数，a，若，且1是函数的极值点，求的最小值；若，且存在，使成立，求实数a的取值范围22. 已知等轴双曲线C：经过点 求双曲线C的标准方程；已知点过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求最小时k的值；点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值2020-2021学年下学期宣化一中高三数学阶段模拟试卷（二）答案和解析1.【
6、答案】D【解析】解；已知集合，或，若，则B集合包含A集合的所有元素，若时，不符合题意舍去，当时，则时，因为，则；时，因为，则；即，故实数a的取值范围为故选：D解出A集合，分类讨论a的范围，结合，可得实数a的取值范围本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系和分类讨论，解题的关键是正确判断集合的含义2.【答案】A【解析】解：，在复平面内复数对应的点的坐标为故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.【答案】A【解析】解：由“”“”，反之不成立，例如时“”是“”的充分不必要条件故选：A由“”“”，反之不成立，
7、例如时即可判断出结论本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】C【解析】解：由，得，又函数的图象在点处的切线方程为，则，由，得，又，即函数的增区间为故选：C求出原函数的导函数，再由已知列关于a，b的方程组，求得a与b的值，代入导函数解析式，由导函数大于0可得函数的增区间本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题5.【答案】A【解析】解：用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，基本事件总数，其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数：，则“
8、在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为故选：A先求出基本事件总数，再求出其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数，由此能求出“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数学应用能力等核心意识，是基础题6.【答案】D【解析】解：，线性回归方程为故选：D先计算和，再根据和的计算公式进行运算，即可得解本题考查线性回归方程的求法，熟记和的计算公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题7.【答案】C【解析】解：由于，则，令，可得故选：C先求导，再代值计算即可求出本题考查了二项式定理和导数的运
9、算，考查了运算求解能力，属于中档题8.【答案】B【解析】解：根据题意，函数在区间上的零点，就是函数和函数在区间的交点，对于，其周期，区间包含2个周期，如图：两个函数在两个周期中最多有5个交点，即函数在区间上的零点最多有5个，故选：B根据题意，由函数的零点与方程的关系，可得函数在区间上的零点就是函数和函数在区间的交点，分析的周期，结合正弦函数的图像分析可得答案本题考查函数的零点与方程的关系，涉及正弦函数的周期性，属于基础题9.【答案】BC【解析】解：，是平面上夹角为的两个单位向量，如图：，距离坐标系如图，可得，所以的中为P在以BC为直径的圆上，所以所以A不正确；，所以B正确；的最大值为：，所以C
10、正确；，的夹角是锐角，所以D不正确故选：BC画出图形，建立坐标系，说明在该平面上的轨迹，结合选项判断正误即可本题考查向量的综合应用，轨迹方程的求解，命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题10.【答案】ABD【解析】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为，该市学生数学成绩的期望为110，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为9，故B正确，C错误；，则，故D正确故选：ABD由已知可得A正确，B正确，C错误；求出学生数学成绩的及格率判断D本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题11.【答案】ACD【解析】解：由题设知：数列的前8项
11、为：1，1，2，3，5，8，13，21，故选项A正确，选项B错误；又，将以上式子相加可得：，故C选项正确；斐波那契数列总有，将以上式子相加可得：，故选项D正确，故选：ACD由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确选项本题主要考查数列的递推关系式在数列的项与和中的应用，属于中档题12.【答案】AD【解析】解：对于A，对任意的，要使，即，只要即可，所以是函数，所以A对；对于B，当时，此方程无解，所以B错；对于C，假设C对，则对任意的，总存在，使得，即，所以，于是，于是矛盾，所以C错；对于D，因为是函数，所以对任意的，总存在，使得，即，所以，且，解得，所以D对故选：ADA用新定义证明；B举反
12、例即可；C用反证法否定结论；D用新定义建立不等式组，解不等式组判断即可本题以命题的真假判断为载体，考查了函数与方程的基本应用，属于中档题13.【答案】【解析】解：由题意球的体积为：，所以球的半径为R，解得，所以圆柱底面直径为8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，所以圆柱的高为：可得圆柱的表面积：故答案为：利用球的体积求解球的半径，然后求解圆柱的高，即可求解圆柱的表面积本题求解球的体积，求解球的半径，球的内接体的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，是基础题14.【答案】【解析】解：由三角函数公式化简可得：，可知函数和的周期均为，已知函数的周期为，故答案为：由三角函数公式化简可得，
13、由三角函数的周期公式和绝对值对周期的影响可得本题考查三角函数的周期性和周期的求法，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题15.【答案】4【解析】解：椭圆：的右焦点，所以抛物线：的焦点，所以；椭圆与抛物线的交点到F的距离为，不妨设在第一象限的交点为A，则，由椭圆定义，可得，所以椭圆的离心率为故答案为：4；求出椭圆的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求解n；求出交点坐标，利用椭圆的定义求解2a，然后求解椭圆的离心率即可本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题16.【答案】【解析】解：因为，所以，所以函数的图像关于对称，当时，单调递减，根据函数的对称性知
14、，在时单调递增，因为，所以，即，所以，解得，故答案为：由已知可判断函数的图像关系对称，然后检验函数的单调性，结合对称性及单调性即可求解本题主要考查不等式的解法，利用函数的对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用17.【答案】解：等比数列的公比为，前n项和为，解得，且，由，解得，解得【解析】利用等比数列通项公式求出，由此能求出由，得由，解得，再由，利用等比数列前n项和公式列方程，能求出m的值本题考查等比数列的运算，涉及到等比数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题18.【答案】解：中，所以，利用余弦定理知，因为，所以；中，所以
15、，即，所以，解得，又，所以【解析】中根据题意利用余弦定理求出cosA，再计算sinA的值；利用三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得tanC的值本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题19.【答案】解：记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C，则，其中互斥，A，B，C，相互独立，即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为的可能取值为0，1，2，3，4，5，该射手的总得分X的分布列为：X012345P【解析】由题意可设该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C
16、，由互斥事件即可解决；由题意X的取值分别为0，1，2，3，4，5，分别计算出对应的概率，即可求解本题考查了统计与概率，数学期望，互斥事件的概率，分布列，属于中档题20.【答案】证明：底面四边形ABCD是矩形，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面PAB，平面PAB，平面PAB，平面PAB，为二面角的平面角，又二面角的大小为，在中，即，又，平面ABCD；解：如右图所示，在底面ABCD内，过点B作，垂足为H，连接PH，由知平面ABCD，平面ABCD，又，平面PAC，为直线PB与平面PAC所成的角，其中，直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为21.【答案】解：，因为1是函数的极值点，所以，
17、即，此时，当时，当时，所以函数在处取极小值，所以，因为，所以当且仅当，时等号成立，所以，所以的最小值为当时，在，使成立，即函数在上的最小值小于0，当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为，所以，不符，舍去；当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以，又，所以；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最小值为，因为，所以，所以，所以，所以，不符，舍去，综上可得，a的取值范围是22.【答案】解：由题意，且，解得，所以双曲线C的方程为由对称性可设，则，因为E点在双曲线C上，所以，所以，所以，当时，为直角，当时，为钝角，所以最小时，设，过点B的动直线为，设，联立得，所以，由，且，解得且，即，即，化简得，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以，将代入得，从而，如果时，那么，此时不在双曲线C上，舍去，因此，从而，代入，解得，此时在双曲线上，综上，或者，