1、第三章 数列 第 讲(第二课时)题型3：等比数列性质的应用 1.等比数列an的公比为，前n项和为Sn，nN*.若S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，则其公比为()A.B.C.D.132136131323设an的公比为q，首项为a1.由S2=a1+a1q，S4-S2=q2(a1+a1q)，S6-S4=q4(a1+a1q)，及S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，可得其公比为故选A.q 2213，【点评】:等比数列有着许多同构性质，如an是等比数列，则a2n也是等比数列，akn+b也是等比数列；Sn是等比数列an的前n项的和，若Sm0，则数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，成等比数列.设
2、正项等比数列an的首项前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，求数列an的通项公式.a 112，由已知得210(S30-S20)=S20-S10，即210q10(S20-S10)=S20-S10.因为an0，所以S20-S100，所以210q10=1，所以从而.q 12()(*).nnan1N2题型4：等比数列与等差数列交汇 2.已知等比数列bn与数列an满足bn=3an(nN*).(1)若a8+a13=m，求b1b2b20;易证得an是以log3q为公差的等差数列(q为等比数列bn的公比).又a8+a13=m，所以b1b20=3a13a20=3a1+a20=3m，b
3、2b19=3a2+a19=3m，b10b11=3a10+a11=3m，所以b1b2b20=(b1b20)10=310m.(2)若b3b5=39，a4+a6=3，求b1b2bn的最大值.由b3b5=39，得a3+a5=9.又a4+a6=3，所以d=-3，所以a 1272，.nan27132于是所以，当n=5时，b1b2bn取得最大值()()(),nnnnnaannb bbb b213102221 2133.7523【点评】：等比数列是指数型函数，其指数的变化恰好是成等差数列变化的，即对一正项等比数列求对数后，就构成了一个新的等差数列.已知等差数列an，a2=9，a5=21.(1)求数列an的通项
4、公式；(1)设数列an的公差为d.依题意得方程组 a1+d=9a1+4d=21，解得a1=5，d=4.所以数列an的通项公式为an=4n+1.(2)令bn=2an，求数列bn的前n项和Sn.由an=4n+1，得bn=24n+1，所以数列bn是首项为b1=25，公比q=24的等比数列，于是得数列bn的前n项和()?().nnnS54422132 2412115题型5：等比数列中的探究性问题 3.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,),a1=1.(1)设数列bn=an+1-2an(n=1,2,)，求证：数列bn是等比数列；(1)证明：由Sn+1=4an+2，Sn
5、+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，即an+2=4an+1-4an.(根据bn的构造，如何把该式表示成bn+1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练.)所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).又bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn.由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2，解得a2=5，则b1=a2-2a1=3.由和知，数列bn是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=32n-1.(2)设数列(n=1,2,)，求证：数列cn是等差数列；证明：因为(nN*),所以又故数列cn是首项为公差为的等差数列，所以nnna
6、c 2nnnac 2.2nnnnnnnnnnnnaaaaccbn111111122223 23214ac 11122，12，34.4ncn314(3)求数列an的通项公式及前n项和.因为又所以所以an=(3n-1)2n-2.当n2时，Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式.综上可知，所求的前n项和为Sn=2n-1(3n-4)+2.,nnnac 2,ncn3144,nnan31244【点评】:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差、等比数列，求数列的通项公式与前n项和.解决本题的关键在于由条件Sn+1=4an+2得出递推公式.2.解
7、综合题要总览全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.已知数列an满足：a1=1，a2=2，且数列anan+1是公比为q的等比数列.设bn=a2n-1+a2n,数列bn的前n项和为Sn,试推断是否存在常数k，使对任意nN*，都有Sn=2bn+k成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.由已知即所以数列a1，a3，a5，a2n-1，和a2，a4，a6，a2n，都是公比为q的等比数列.当q1时，Sn=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)nnnnaaqa a121，nnaqa 2，()()().nnnqqqqqqq12 13 11111又bn=a1qn-1+a2qn-1=3qn-1，所以因为Sn=2bn+k，所以得q=2，所以当q=1时，a2n-1=1，a2n=2，从而bn=3，Sn=3n，不满足题设条件，故k=-3为所求.().nnnq bqSbqqq3 133111qq21，.kq 3331121.在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列.2.一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，它的公比是原数列公比的二次幂.3.若an，bn为等比数列，则an(0)，|an|，manbn(m 0)仍为等比数列.4.解题时，应注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度.nnaa21，