1、第7课 函数的奇偶性编写：董 猛 审核：吕世金学习目标：了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)= (或f(-x)+f(x)=0),则称f(x)为奇函数;对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有 (或 ),则称f(x)为偶函数.2. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数,其定义域关于 对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 对称).(2) 奇函数的图象关于 对称,偶函数的图象关于 对称.
2、(3) 若奇函数的定义域包含0,则f (0)=0.(4) 定义在(-, +)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.1. 已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m=.2. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=2x-3,则f(-2)=.3.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=.4.已知f(x)=4x2+bx+3a+b是偶函数,其定义域是a-6,2a,则点(a,b)的坐标为.函数奇偶性的判定例1判断下列各函数的奇偶性.(1) f(x)=(x-1); (2) f(x)=log2(x+);练习求证:函数f(x)=
3、x+a(其中a为常数)为偶函数. 函数奇偶性的应用例2已知函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数.当x(-,0)时,f(x)=x-x4,则当x(0,+)时,f(x)=.练习设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=.(2)已知f(x)=是奇函数,且f(2)=,那么p=,q=.【题组强化重点突破】1.若奇函数f(x)在(0,+)上单调递减,且f(2)=0,则不等式0的解集为.2.若偶函数f(x)在(0,+)上为减函数,且f(2)=0,则不等式0的解集为. 3. 已知偶函数f(x)在0,+)上是增函数,如果f(ax+1)f(x-2)在x上恒成立
4、,求实数a的取值范围.4.设a0,函数f(x)=+是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+)上是增函数.1.设函数f(x)=asin x+x2,若f(1)=0,则f(-1)的值为.2.已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,且f(2)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围是.3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=2x+1.若f(a)=3,则实数a的值为.4.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17,求f(5)的值.5.已知函数f(x)的定义域D=x|x0,且满足对于任意的x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函数,求x的取值范围.
