1、大二轮文2大二轮 数学 文适考素能特训3大二轮 数学 文一、选择题12015陕西高考设 f(x)xsinx，则 f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数解析 f(x)xsin(x)(xsinx)f(x)，f(x)为奇函数又 f(x)1cosx0，f(x)单调递增，选 B.4大二轮 数学 文22016河南洛阳质检对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 1xfx0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)解析 当 x1 时，f(x)1时，f(x)0，此时函数
2、 f(x)递增，即当 x1 时，函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值 f(1)，所以 f(0)f(1)，f(2)f(1)，则 f(0)f(2)2f(1)，故选 A.5大二轮 数学 文32016河北石家庄模拟若不等式 2xln xx2ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，0)B(，4C(0，)D4，)解析 2xln xx2ax3，则 a2ln xx3x.设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)x3x1x2.当 x(0,1)时，h(x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4，所以 ah(x)min4，故 a 的取值范围是(，46大二轮 数
3、学 文42016河北衡水中学调研已知函数 f(x)x33 mx2mnx12的两个极值点分别为 x1，x2，且 x1(0,1)，x2(1，)，点 P(m，n)表示的平面区域为 D，若函数 yloga(x4)(a1)的图象上存在区域 D 内的点，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,3C(3，)D3，)7大二轮 数学 文解析 f(x)x2mxmn20 的两根为 x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，则f00，f10，1mmn20，3mn21，所以 1a3.9大二轮 数学 文52016江西八校联考已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是()A(，0)
4、B.0，12C(0,1)D(0，)解析 f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令 f(x)0，则2aln x1x，设 g(x)ln x1x，10大二轮 数学 文则 g(x)ln xx2，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当 x0 时，g(x)，当 x时，g(x)0，而 g(x)maxg(1)1，只需 02a10a0，则函数 F(x)xf(x)1x的零点个数是()A0 B1C2 D312大二轮 数学 文解析 x0 时，f(x)fxx 0，xfxfxx0，即xfxx0.当 x0 时，由式知(xf(x)0，U(x)xf(x
5、)在(0，)上为增函数，且 U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)0 在(0，)上恒成立又1x0，F(x)0 在(0，)上恒成立，13大二轮 数学 文F(x)在(0，)上无零点当 x0 时，(xf(x)0 在(，0)上恒成立，F(x)xf(x)1x在(，0)上为减函数当 x0 时，xf(x)0，F(x)1x0，F(x)在(，0)上有唯一零点综上所述，F(x)在(，0)(0，)上有唯一零点，故选 B.15大二轮 数学 文二、填空题72015山西四校联考函数 f(x)1x2，x1，ln x，x1，若方程 f(x)mx12恰有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是_12，ee16大二轮 数学
6、 文解析 在平面直角坐标系中作出函数 yf(x)的图象，如图，而函数 ymx12恒过定点0，12，设过点0，12 与函数yln x的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0)因为 yln x 的导函数 y1x，所以图中 yln x 的切线 l1 的斜率为 k1x0，则1x0ln x012x00，解得 x0 e，所以 k 1e.又图17大二轮 数学 文中 l2 的斜率为12，故当方程 f(x)mx12恰有四个不相等的实数根时，实数 m 的取值范围是12，ee.18大二轮 数学 文82015河南郑州质检三设函数 f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为 f(x)，且有 2f(x)
7、xf(x)x2，则 不 等 式(x 2014)2f(x 2014)4f(2)0 的 解 集 为_(，2016)解析 由 2f(x)xf(x)x2，x0 得 2xf(x)x2f(x)x3，x2f(x)x30.令 F(x)x2f(x)(x0)，则 F(x)0(x0 即为 F(x2014)F(2)0，即 F(x2014)F(2)，又因为 F(x)在(，0)上是减函数，所以 x20142，x0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有_(1)2f3 f4(3)f(0)2f4(4)f6 0，且 f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx)，所以可构造函数
8、g(x)fxcosx，则 g(x)fxcosxfxcosxcos2x0，所以 g(x)为偶函数且在0，2 上单调递增，所以有 g3 g3 f3cos32f3，g4 g4 21大二轮 数学 文f4cos4 2f4，g6 f6cos62 33 f6.由函数单调性可知 g6g4 g3，即2 33 f6 2f4 g(0)f(0)，所以(3)正确22大二轮 数学 文三、解答题102016珠海模拟某造船公司年最大造船量是 20 艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)3700 x45x210 x3(单位：万元)，成本函数为 C(x)460 x5000(单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数
9、 Mf(x)定义为 Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？23大二轮 数学 文(3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 (1)P(x)R(x)C(x)10 x3 45x2 3240 x5000(xN*，且 1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30 x260 x3275(xN*，且1x19)(2)P(x)30 x290 x324030(x12)(x9)，因为 x0，所以 P(x)0 时，x12，当 0 x0，当 x12 时
10、，P(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，当 a0 时，当 0 xa 时，f(x)a 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，a)上为减函数，f(x)在(a，)上为增函数26大二轮 数学 文(2)由题意知 xaln x1ln x2x 0 在 x1，)恒成立，设 g(x)xaln xln x2x 1，x1，)，则 g(x)1ax1ln x2x22x22ax1ln x2x2，x1，)，设 h(x)2x22ax1ln x，则 h(x)4x1x2a，当 a0 时，4x1x为增函数，所以 h(x)32a0，27大二轮 数学 文所以 g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当32a0 时，h(x)
11、32a0，所以 g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当 a32时，当 x1，2a12时，2a12x，由(1)知，当 a1 时，xln x10，ln xx1，ln x1x1，h(x)2x22axln x12x22ax1x2x22axx2x2(2a1)x0，28大二轮 数学 文此时 g(x)0，所以 g(x)在1，2a12上单调递减，在1，2a12上，g(x)g(1)0，不符合题意综上所述 a32.29大二轮 数学 文122016济宁模拟已知函数 f(x)exaxa(其中 aR，e 是自然对数的底数，e2.71828)(1)当 ae 时，求函数 f(x)的极值；(2)当 0a1 时，求
12、证 f(x)0；(3)求证：对任意正整数 n，都有112 1 122 1 12n e.解(1)当 ae 时，f(x)exexe，f(x)exe，当 x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以函数 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，30大二轮 数学 文所以函数 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)e，函数 f(x)无极大值(2)证明：由 f(x)exaxa，得 f(x)exa，当 a0 时，f(x)ex0 恒成立，满足条件当 0a1 时，由 f(x)0，得 xln a，则当 x(，ln a)时，f(x)0，所以函数 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调
13、递增，31大二轮 数学 文所以函数 f(x)在 xln a 处取得极小值即为最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因为 0a1，所以 ln a0，所以aln a0所以 f(x)min0，所以当 0a1 时，f(x)0；(3)证明：由(2)知，当 a1 时，f(x)0 恒成立，所以 f(x)exx10 恒成立，即 exx1，所以 ln(x1)x，令 x 12n(nN*)，得 ln 1 12n 12n，所以 ln 112 ln 1 122 ln 1 12n32大二轮 数学 文12 122 12n12112n112112n1.所以112 1 122 1 12n e.33大
14、二轮 数学 文典题例证2016全国卷设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1x1ln x 1，证明当 x(0,1)时，1(c1)xcx.34大二轮 数学 文审题过程切入点 求出导函数f(x)然后确定函数 f(x)的单调性关注点 利用(1)的结论证明不等式；构造新函数，通过研究新函数的单调性进行证明.35大二轮 数学 文规范解答(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x1，令 f(x)0 解得 x1.当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知 f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当 x1 时，ln xx1.故当 x(1，)时，ln xx1，ln 1x1 且 xln xx1，即 1x1ln x 1，设 g(x)1(c1)xcx，则 g(x)c1cxln c，令 g(x)0，解得 x0ln c1ln cln c.当 x0，g(x)单调递增；当 xx0 时，g(x)0，g(x)单调递减37大二轮 数学 文由(2)知 1c1ln c c，故 0 x01.又 g(0)g(1)0，故当0 x0.所以当 x(0,1)时，1(c1)xcx.38大二轮 数学 文模型归纳利用导数证明不等式的模型示意图如下：