1、第三章 数列 第 讲（第二课时）考点3:等差数列中的证明问题1.设an是公差为d的等差数列.(1)求证：以bn=(nN*)为通项的数列bn是等差数列；12naaan(1)证明：因为等差数列an的公差是d(常数)，所以所以bn是等差数列.1212-1-111-111-1-1-1()(-1)()-22(-1)11-(-)()2.2222nnnnnnnnnnaaaaaabbnnn aanaannaaaaaadn常数，其中(2)若a1d0，问数列an中的任一项an是否一定在(1)中数列bn中？如果是，设此项为bm，探求此时n与m的关系式；如果不是，请说明理由.由(1)知，bn=b1+(n-1)，且b1
2、=a1，即bn=a1+(n-1)，an=a1+d(n-1).假设存在符合题意的项，则由an=bm，2d可得a1+d(n-1)=a1+(m-1)，所以(m-1)=n-1，即m=2n-1.由m，n都是正整数可得此式成立.故数列an中的任一项an一定在数列bn中.2d12【点评:】一个数列为等差数列的充要条件 可 以 是：an+1-an=d；an=an+b；Sn=an2+bn(Sn是前n项和)；an+2+an=2an+1.判断一项a是否为某数列an的项，就是方程an=a是否有对应的正整数解.已知首项不为零的数列an的前n项和为Sn，若对任意的r、tN*，都有判断an是否为等差数列,并证明你的结论.a
3、n是等差数列，证明如下：因为a1=S10，令t=1，r=n，由得即Sn=a1n22().rtSrSt2()rtSrSt21()nSrSt，所以，当n2时，an=Sn-Sn-1=a1(2n-1)，且n=1时此式也成立.所以an+1-an=2a1(nN*)，即an是以a1为首项,2a1为公差的等差数列.题型4：等差数列性质的应用 2.在等差数列an中，a4+a6+a8+a10+a12=120，求2a9-a10的值分析：本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列性质的运用运用等差数列的通项公式把任意项转化到首项与公差上来是解决数列问题的通性通法1：因为2a9-a10=a9+(a9-a10)=a9-d=
4、a8，而a4+a12=a6+a10=2a8，即5a8=120，故a8=24，所以2a9-a10=24.2：由a4+a6+a8+a10+a12=120，得5a1+(3+5+7+9+11)d=120，即a1+7d=a8=24，所以2a9-a10=a9-d=a8=24.点评：根据等差数列的项与项数的关系，灵活运用等差数列的性质解题，可以简化思维过程，优化解题步骤若an是等差数列，根据条件解下列各题(1)已知a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8；(2)已知a5=11，a8=5，求an；(3)已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求an.（1）解1：a3+a7=a4+a6=2a5
5、=a2+a8，所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450，所以a5=90，所以a2+a8=2a5=180.解2：因为an是等差数列，设首项为a1，公差为d，所以a3+a4+a5+a6+a7=a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=5a1+20d，即5a1+20d=450，所以a1+4d=90，所以a2+a8=a1+d+a1+7d=2a+8d=180.(2)因为a8=a5+3d，所以d=-2，an=a8+(n-8)d=5+(n-8)(-2)=21-2n.(3)因为a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，又 因 为 a2+a8=a3+a7=2a5，所 以 3a5=9，
6、故a5=3.所以a3+a7=2a5=6，a3a7=-7，由解得a3=-1，a7=7或a3=7，a7=-1，所以a3=-1，d=2或a3=7，d=-2，由an=a3+(n-3)d，得an=2n-7或an=-2n+13.题型5：等差数列与函数交汇 3.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x-2.数列an的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有nN*都成立的最小正整数m.13,nnnba a 20nmT(1)设二次函数f(x)=ax2+bx(a0),则f(x)=2ax
7、+b.由f(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又因为点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上，所以Sn=3n2-2n.当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5;当n=1时，a1=S1=312-2=61-5.所以an=6n-5(nN*).(2)由(1)知故133(6-5)6(1)-5111(-),2 6-561nnnba annnn1111111(1-)(-)(-)277 136-5 6111(1-).261nniiTbnnn因此，要使都成立,必须且仅须满足即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.11(
8、1-)(*)26120m nNn1,220m【点评:】数列是特殊的函数，有关数列中的一些问题，可以利用函数的方法来解决，如求数列中的最值项，先把定义域看为正整数集，然后利用求函数最值的方法进行求解.已知等差数列an中，公差d0，Sn为其前n项和，且满足a2a3=45，a1+a4=14.(1)求数列an的通项公式；由于a1+a4=a2+a3=14，故a2，a3是方程x2-14x+45=0的两根，且a2a3，所以a2=5，a3=9，故d=4，a1=1，所以an=4n-3(nN*).(2)通过构成一个新的数列bn,使bn也是等差数列，求非零常数c；由(1)可知,Sn=n(2n-1),因为bn也是等差
9、数列，nnSbnc1231615,.123bbbccc所以2b2=b1+b3，所以化简得2c2+c=0，解得或c=0(舍去).所以12115,213cccc 12c 12(3)求的最大值.由(2)可知,所以当且仅当n=5时取等号.故当n=5时，f(n)的最大值为1()(*)(25)nnbf nnNnb(2-1)2,1-2nnSnnbnncn122()(25)(25)2(1)11,2526253626nnbnf nnbnnnnnnn1.36设Sn和Tn分别为两个等差数列an，bn的前n项和，若对任意nN，都有则数列an的第11项与数列bn的第11项的比是()A.43 B.32C.74 D.7871参考题nnSnTn71427，因为所以故选A.2-1,2-1nnSan2111212111211471421,8427321SaSTbT已知三个或四个数成等差数列的一类问题，要善于设元，目的在于减少运算量.如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a-d，a，a+d;四个数成等差数列时，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d.