1、广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数满足（为虚数单位），则（ ） A B C2 D1【答案】D考点：复数概念及运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多
2、项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2.设是两个集合，则“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：,所以“”是“”的必要不充分条件.考点：充要条件.3.若，则（ ） A B C D【答案】C【解析】试题分析：，.考点：诱导公式.4.若实数满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ） A B C D2【答案】C【解析】试题分析：表示的是可行域内的点与点连线的斜率，画出可行域如下图所示，由图可知，最大值为.考点：线性规划.5.在如图所示的流程图中，若输入的的值分别为2，4，5，则输出的（ ）
3、A1 B2 C D10【答案】A考点：算法与程序框图.6.已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右 平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的图象 的一条对称轴方程为（ ） A B C D【答案】A【解析】试题分析：的图象向右平移个单位长度，得，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得，代入选项，验证得是其对称轴.考点：三角函数图象变换.7.以直线为渐近线的双曲线的离心率为（ ）A2 B C2或 D【答案】C【解析】试题分析：焦点在轴上时，；焦点在轴上时，.考点：双曲线离心率.8.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位
4、女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A B C D【答案】B考点：概率.9.如图，正方形中，分别是的中点，若，则（ ）A2 B C D【答案】D【解析】试题分析：设正方形边长为，以为原点建立平面直角坐标系，则,，依题意，即，解得.考点：向量运算.10.已知，则关于的不等式的解集为（ ）A B C D【答案】C考点：不等式.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A48 B16 C32 D【答案】B【解析】试题分析：直观图如下图所示，由图可知这是一个四棱锥，底面积为，高为，设,所在直线方程为，带到直线的距离为，所以体积为.考点：三视图.【思路点
5、晴】有关网格纸上小正方形的三视图的题目，大都是在长方体，或正方体中截去某些部分所得.本题中，我们首先判断这是一个椎体，由于俯视图是一个正方形，所以这是一个四棱锥，然后我们利用正视图和侧视图，确定这个四棱锥的顶点和底面所在的平面，在图形上表示出来，有时候，需要尝试看看点的位置是否正确.12.设定义在上的函数满足，则（ ）A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值 D既无极大值，也无极小值【答案】D【解析】考点：函数导数与极值.【思路点晴】本题是一个逆向思维的题目，由，得，求出的原函数，得到，由得，从而得到，在通过导数判断函数的单调性即可，类似的，我们还可以将题目的已知条件
6、改为，利用同样的方法，也可以求出的表达式.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.高为，体积为的圆柱的侧面展开图的周长为_【答案】【解析】试题分析：底面积底面半径，侧面展开图周长为.考点：圆柱侧面展开图.14.过点的直线与圆相交于两点，当弦的长取最小值时，直线的倾倒角等于_【答案】【解析】试题分析：圆心,当弦的长取最小值时,.考点：直线与圆的位置关系.15.在的展开式中，项的系数为_（结果用数值表示）【答案】【解析】试题分析：，必须，系数为.考点：二项式定理.【思路点晴】在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确
7、定；是展开式中的第项，而不是第项.公式中，的指数和为且，不能随便颠倒位置；对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法16.如图，在凸四边形中，当变化时，对角线的最大值为_【答案】考点：解三角形.【思路点晴】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的解题能力. 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关
8、系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，是和1的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由已知得，当时，-可得，即，所以4分在式中令，可得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列；6分（2）由得，12分考点：1.数列的基本概念；2.错位相减法.18.（本小题满分12分）某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”（1
9、）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）155女生（人）153根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？男生女生总计优秀非优秀总计（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；记表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个
10、数，求的数学期望参考公式：，其中临界值表：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）没有%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”；（2）；.【解析】试题解析：（1）设从高一年级男生中抽出人，则，2分男生女生总计优秀151530非优秀10515总计2520454分而，所以没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”6分（2）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，所以从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为优秀学生”为事件，则事件发生的概率为9分由题意知，随机变量所以随机
11、变量的数学期望12分考点：1.独立性检验；2.二项分布.19.（本小题满分12分）在三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，点分别在线段上，且. （1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：解：（1）取线段中点，连接在正方形中，在和中，又，所以，从而，所以，即2分又，所以面面，4分在等腰三角形中，又与相交，知面，面，面面6分（2）在等腰三角形中，由知，且，记线段中点为，连接，由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则考点：空间向量法证明垂直与求线面角的正弦值.20.（本小题满分12分）过抛物线的焦点
12、的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为-4（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线与轴交于一定点【答案】（1）；（2）直线与轴交于定点.试题解析：（1）由于抛物线的焦点坐标为，故可设直线的方程为，由方程组，消去，并整理，得，2分设，则，由可得， 抛物线的方程为，4分（2）解法一：依题意，直线与不垂直，直线的方程可表示为，6分抛物线的准线方程为，由，联立方程组可求得点坐标为，由（1）可得，从而点坐标可化为，8分直线的斜率为，直线的方程可表示为，10分令，可求得，直线与轴交于定点12分解法二：直线与轴交于定点2分证明如下：依题意，直线与不垂直，
13、直线的方程可表示为，6分抛物线的准线方程为，由，联立方程组可求得点坐标为，由（1）可得，从而点坐标可化为，9分两点的连线斜率为，10分两点的连线斜率为11分三点共线，即直线与轴交于定点12分考点：直线与抛物线的位置关系.【方法点晴】做这类型的题目时，要努力提高自己的运算能力，平时多练习.题目中，直线过焦点，即可设出直线的方程，根据另一个条件“两点的纵坐标之积为”，我们很容易得到思路，就是联立直线的方程和抛物线的方程，消去，得到关于的一元二次方程，由根与系数关系，我们就可以得到，进而求出的值.21.（本小题满分12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）（1）求实数的值；（2）用表示中
14、的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）对求导得1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为13分，又曲线 在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使；，从而，9分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：30极小值，故“在上恒成立”只需，即 考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本
15、题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，为圆的直径，在圆上，于，点为线段上任意一点，延长交圆于，（1）求证：；（2）若，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）证明 ：连接，又，为等边三角形，为中边上的中线，；5分（2）解：连接，边等边三角形，可求得，为圆的直径，又，即10分考点：几何证明选讲.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标
16、系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合若曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为（1）将曲线 的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线上一点向曲线引切线，求切线长的最小值【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）圆的直角坐标方程为，又，圆的极坐标方程为5分（2）由直线的极坐标方程变形可得，的直角坐标方程为，设直线上点，切点，圆心，则有，当最小时，有最小，而，所以即切线长的最小值为210分考点：坐标系与参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若关于的不等式有解，记实数的最大值为（1）求的值；（2）正数满足，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.试题解析：解：（1）由，若有解，应满足，解得，所以5分（2）由正数满足，知，当且仅当时取等号10分考点：不等式选讲.