1、宁夏固原市五原中学补习部2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）第卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “若，则”的否命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】否命题就是把条件和结论都否定，写出结论即可.【详解】“若，则”的否命题是“若，则”故选：A.【点睛】易错点睛：否命题与命题的否定有一定的区别：（1）否命题需否定原命题的条件和结论；（2）命题的否定只需直接否定结论即可.2. “f(x)为偶函数”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.
2、 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用定义判断是偶函数，再利用充分必要性的定义判断，即可得出答案.【详解】，定义域为R，是定义在R上的偶函数，故必要性成立；但若为偶函数，表达式不唯一，举反例：，等等，不能推出，故充分性不成立；所以“为偶函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.3. 如图所示，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据阴影部分与对应集合关系可直接判断得结果.【详解】由图可知：阴影部分中元素在集合中、且在集合中、且不在集合中,即在集合中,因此阴影部分表示的集合为故选：C【点睛】本题考查韦恩图
3、、元素与集合关系，考查基本分析判断能力，属基础题.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数平方关系化简整理得：原式变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】因为，所以故选：D.5. 已知是第二象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由是第二象限角，得；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果.【详解】因为是第二象限角，所以，又，所以，因此，即，所以.故选：B.6. 函数，若，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.【详解】因为，所以，当时，则在为减函数，因为
4、，所以，即，故选：B7. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用诱导公式化简题目得到，再由，利用诱导公式，得，即可求解得到答案.【详解】由题意，即又，利用三角函数的诱导公式可得： 故选：B.【点睛】方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，等.8. 函数的部分图象可能是（
5、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考查函数的定义域、在上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数，解得且，该函数的定义域为，排除B、D选项.当时，则，此时，故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9. 若，则=（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】令和，分别解得和，代入对应的解析式，即可得答案.【详解】令，因为，则，令，则，所以，所以=，故选：D10. 已知函数，若，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先研究函数奇
6、偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式，解得实数的取值范围.【详解】因为 ,所以为奇函数，且在R上单调递减，因为，所以，选D.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.11. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式，作出函数的图象，方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数的取值范围.【详解】，图象如图：方程有三个不同的实数根即为函数的图象与
7、的图象有三个不同的交点，由图象可知：的取值范围为.故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的图象，函数与方程的关系，考查了数形结合与转化化归的思想.12. 已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，求出函数的导数，判断函数的单调性，从而求出结果.【详解】令，则.，是减函数，则有，即，所以.选.【点睛】本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在
8、答题卡上）13. 计算=_;【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及三角函数值即可求解.【详解】.故答案：14. 若，则_ ;【答案】40【解析】【分析】利用对数的运算公式，直接求值即可.【详解】故答案为：4015. 已知函数在内为增函数，则的取值范围；_ ； .【答案】【解析】【分析】求出导函数使在恒成立即可求解,【详解】由，则因为函数在内为增函数，则在恒成立，即在恒成立，所以.故答案为：16. 若是函数的两个极值点，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据极值点定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得以及，再结合对数运算即可容易求得结果.【详解】，.故答案为：；.
9、【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边在直线上.（1）求的值；（2）求值【答案】（1）或；（2）或；【解析】【分析】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m的正负.（2）先利用商的关系化简原式为，结合第一问利用三角函数定义分别求得与，要注意分类讨论m的正负.【详解】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，利用诱导公式与三角函数定义可得：，当时，；当时，（2）原式
10、同理（1）利用三角函数定义可得：，当时，此时原式；当时，此时原式；【点睛】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角的终边在直线上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.18. 已知函数在处取得极大值为9.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】(1) .(2) 函数在区间上的最大值为9，最小值为.【解析】分析：（I）首先求解导函数，然后结合，可得.（II）由（I）得，结合导函数研究函数的单调性和最值可知函数在区间上的最大值为9，最小值为.详解：（I）依题意得，即，解得.经检验，上述结果满足题意.（II）由（I）得，令，得；令，得
11、，的单调递增区间为和，的单调递增区间是，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.点睛：(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值19. 如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记（1）若，求；（2）分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角
12、函数定义，得，由此利用同角三角函数的基本关系求得的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果（2）依题意得，分别求得和的解析式，再由求得，根据的范围，求得的值【详解】（1）解：由三角函数定义，得，因为，所以所以（2）解：依题意得， 所以，依题意得，即，整理得因为，所以，所以，即【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题20. 已知函数f(x)ln xax(aR).（1）当a时，求f(x)的极值；（2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【答案】（1）f(x)极大值ln 21，无极小值；（2）答案见解析.【解析】【分析】（
13、1）当a时，f(x)ln xx，求导得到f(x)，然后利用极值的定义求解.（2）由（1）知，函数的定义域为(0，)，f(x)a (x0)，然后分a0和a0两种情况讨论求解.【详解】（1）当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值.（2）由（1）知，函数的定义域为(0，)，f(x)a (x0)当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值
14、点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.【点睛】本题主要考查导数与函数极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.21. 已知函数；（1）若，求函数的单调递减区间；（2）求证：若，则对任意的，有【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出的导函数，根据可得到单调递减区间；（2）令，判断出单调性，利用可得答案.【详解】（1）的定义域为，因为，所以，当即时，在单调递增，当时，即，令得，所以单调递减，单调递减区间为，综上所述，时，无单调递减区间； 时， 单调递减区间为.（2）设，则，令，所以，因为
15、，所以，所以，即，所以在上单调递增，对任意的，有，即，所以.【点睛】利用导数求得函数的单调递减区间，利用导数求得函数的单调递增区间.选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 已知曲线的极坐标方程是，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线的参数方程是 （为参数）（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求非负实数的值【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）或【解析】【分析】（1）得，结合即可求出曲
16、线的直角坐标方程，由得，代入到可得直线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义即可求出答案【详解】解：（1）曲线的极坐标方程是，即，由得，即曲线的直角坐标方程为，由得，代入到可得，直线的普通方程为；（2）将代入到得，可得，由可得，由为非负数，可得，设是方程的两根，则，由可得，解得或，又，或【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题选修4-5：不等式选讲23. 已知f(x)|2x1|2|x1|（1）求函数f(x)的最小值；（2）若f(x)的值域为M，当tM时，证明t213t.【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式即可求解.（2）利用作差法即可证明.【详解】（1） ，当且仅当时，取等号，.（2）由（1）可得，原不等式等价于， t213t.【点睛】方法点睛：本题考查了分段函数的最值、证明不等式，常见方法有以下几种.（1）去绝对值，将函数化为分段函数，利用分段函数的图像可求最值.（2）利用绝对值三角不等式求最值.（3）证明不等式的方法：作差法、作商法.（4）构造函数，利用导函数证明不等式.- 18 -