1、四川省南充高中2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 理（含解析）一、选择题1.若集合，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式及分数不等式，对两个集合进行化简，从而可求出其交集.【详解】解：解得或，即，解得，所以，则，故选:B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了分数不等式的求解，考查了集合的交集，属于基础题.2. 已知直线l的方程为yx1，则直线l的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 135【答案】D【解析】【详解】由题可知，直线yx1的斜率为1，所以有=-1，所以直线l的倾斜角为1353.已知数列，则9是它的（ ）A
2、. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据题意得出数列的第项为，然后将转化为，即可得出结果.【详解】由题意可知，数列的第项为，因为，所以是数列的第项，故选：C.【点睛】本题考查判断数是数列的哪一项，能否明确数列的通项公式是解决本题的关键，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.4.在中，则等于（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】正弦定理，结合题中数据算出，结合得，可得【详解】解：中，由正弦定理，得结合，可得或又，得（舍去故选：A 点睛】本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，求另一边的对角大小着重考查了利用正弦定理解三角形
3、和大边对大角等知识，属于基础题5.已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，所以即：，化简得：故选6.数列的前项和为，若，则等于（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简，利用裂项相消法可得结果.【详解】因为，所以，故选B【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果
4、错误.7.下列函数中，最小值是2的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出的取值范围.【详解】解：A：当时，最小值不是2，故A错误；B：当时，则，当且仅当，即时等号成立，故当时，B错误；C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；D：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，由得，D错误.故选:C.【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.8.中，角，所对的边分别为，若，且的面积为，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换和三角形面积求解出的值；再根据的范围解出.【详解
5、】 或又本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换和解三角形的知识，易错点是求解的取值时，忽略了这一条件，造成求解错误.9.设等差数列前项和为，若，则当取最小值时，等于（ ）A. 9B. 7C. 8D. 6【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式解方程可得，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的的值【详解】解：设等差数列的公差为，可得，解得，则，当时，取最小值故选：D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次函数的最值求法，注意运用配方法，考查运算能力，属于中档题10.已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线
6、的斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围【详解】解：直线整理为即可知道直线过定点，作出直线和点对应的图象如图：，要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，或即直线的斜率的取值范围是，故选【点睛】本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题11.已知成公比为2等比数列，且也成等比数列，则的值为（ ）A. 或0B. C. 或D. 或或0【答案】C【解析】【分析】根据成公比为2的等比数列，写出三个角之间的关系，把角都用来表示，根据三个角的正弦值成等比数
7、列，写出正弦值之间的关系，把选项中的值代入验证即可得结果.【详解】成公比为2的等比数列，因为等比数列中每一项都不为零，所以，也成等比数列，即，把选项中的值代入以上等式进行检验，得到合题意,故选C.【点睛】本题考查等比数列的性质和特殊角的三角函数,以及特值法的应用，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.12.已知四边形各顶点的坐标分别为，点为边的中
8、点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再是以角为顶角的等腰三角形即可得必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系，可得和，可得答案.【详解】由题中条件可知，四边形为正方形.又为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形，必为边的中点，则，由题易知，；直线与轴垂直，则，.故选C.【点睛】本题考查了直线的斜率公式，以及直线的位置关系与斜率的关系，属于中档题.二、填空题13.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.【答案】x+y=3或y=2x【解析】试题分析：当所求的直线与两坐标轴的截
9、距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0考点：直线方程14.数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】结合累加法以及等差数列的前 项和公式，可求出，由可求出数列的通项公式.【详解】解：因为，所以当时， ，所以，所以，当时，所以.故答案为: 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了递推关系，考查了等差数列的
10、求和公式.本题的易错点是在求等号右边的和时，误认为是个数相加.15.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值后可得结论【详解】因为，要使恒成立，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值16.已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、的面积分别为，记，则取最大值时，的值为_.【答案】【解析】【分析】由题设条件得到，进而求得，结合基本不等式，求得，得出点为的中点，进而求得取最大值时，的值.【详解】由题意，、的面积分别为，记，所以，以为点是的中位线
11、上任意一点，且,所以，所以，当且仅当时取等号，此时点为的中点，因为实数满足，又由，可得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及基本不等式的应用，其中解答中认真审题，合理利用平面向量的基本定理，结合基本不等式求解是解答的关键，综合性强，属于中档试题.三、解答题17.求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简
12、得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题18. 在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(
13、2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.（2）由Sbcsin Abcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.19.不等式：的解集为.（1）求集合；（2）若不等式的解集为，且，求的取值范
14、围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分式不等式转化为整式不等式求得解集（2）分类讨论，当时，不符合题意，当时，求得利用得到；【详解】（1），且 ，（2），当时，不符合题意，舍去；当时，不等式可化：，注意到，当时，不等式可化为：，注意到无论与大小关系，均包含趋于部分，一定不符合，舍去.综上可知：【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的
15、大小关系，从而确定解集形式20.已知等比数列的前项和为，且.（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由和，求出，从而可求出公比，再结合已知条件可求出的值及数列的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：（1）等比数列的前项和为，且，等比数列的公比，又，得由得（2）由（1）可知，数列的前项和为由得.【点睛】此题考查等比数数列的有关计算，考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题.21.如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.（1）设，求用表示
16、函数关系式；（2）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又该在哪里？请说明理由.【答案】（1）y（1x2）；（2）证明见解析【解析】【详解】(1)在ADE中，y2x2AE22xAEcos60y2x2AE2xAE,又SADESABCa2xAEsin60xAE2.代入得y2x22(y0),y(1x2).(2)如果DE是水管y,当且仅当x2，即x时“”成立，故DEBC，且DE.如果DE是参观线路，记f(x)x2，可知函数在1，上递减，在，2上递增，故f(x) maxf(1)f(2)5.y max.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.22.数列
17、中，且对于任意的，有.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，是否存在实数使得对于任意，都有（为常数）成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）取，则，所以，由此能求出数列的通项公式（2）首先求出数列的通项公式，所以问题对恒成立，设，则为递增数列，即恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）令，为等差数列，（2）因为当时，；当时，所以，所以所以条件对恒成立，设，则为递增数列.恒成立当为奇数时，当时，右，当为偶数时，当时，右，综上可知：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，以及查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题