1、易错点16 随机变量及其分布列易错点1.随机变量和分布列理解错误1.离散型随机变量一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X的取值范围是x1，x2，xn，如果对任意k1，2，n，概率P(Xxk)pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.Xx1x2xkxnPp1p2pkpn3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pk0，k1，2，
2、n；(2)pkp1p2pn1.4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示Xx1x2xkxnPp1p2pkpn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xnpnxipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).(2)方差D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pnxiE(X)2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.(3)标准差称称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).5.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D
3、(X)(a，b为常数).易错点2.常见分布列分辨不清1.n次独立试验与二项分布(1)n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.(2)二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q1p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是0，1，k，n，而且P(Xk)Cpkqnk，k0，1，n，因此X的分布列如下表所示X01knPCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(qp)nCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0中对
4、应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p).2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).3.超几何分布一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M4）=（ ）A0.1588B0.1587C0.1586D0.1585【答案】B【详解】试题分析：正态分布曲线关于对称，因为,故选B2设两个正态分布和的密度函数图像如图所示则有ABCD【答案】A【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点
5、越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A3已知随机变量服从正态分布，且，则（）A0.6B0.4C0.3D0.2【答案】C【详解】解：因为，所以由题意知图象（如图）的对称轴为直线，所以所以故选：C4某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）A越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等【答案】D【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的
6、对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.故选：D.5某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是ABCD【答案】B【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，故选B一、单选题1若，则事件与的关系是（）A事件与互斥B事件与对立C事件与相互独立D事件与既互斥又相互独
7、立【答案】C【详解】，事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C2已知随机变量服从正态分布，若，则（）A0.977B0.954C0.5D0.023【答案】B【详解】随机变量服从正态分布，若，则依据正态曲线的性质有故选：B3读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（）A100B200C300D400【答案】B【详解】由正态分布的对称性可知：，所以，所以该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数
8、为.故选：B4下列说法错误的是（）A相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强B若，且，则C相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%D在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高【答案】A【详解】对于A中，根据相关系数的定义知：相关系数越大且，两个变量的线性相关性越强，所以A不正确；对于B中，若，且，可得，所以B正确；对于C中，根据相关系数的概念，当相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为，所以C正确；对于D中，根据数据的残差的定义，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以D正确.故选：A.5目前，国际上常用身体质量指数
9、BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）ABCD【答案】D【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，则男员工中，肥胖者有人，女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，则，则.故选：D.6甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）ABCD【答案】A【详解】设甲获得冠军
10、为，比赛进行了三局为，则，所以.所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为.故选：A7甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）AB事件与事件B相互独立CD【答案】D【详解】由题意得，所以A错误；因为，所以，即，故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；，所以C错误；故选：D8已知两个随机变量X，Y，其中，（0），若E(X)=E(Y)，且，则（）A0.2B0.3C0.
11、4D0.1【答案】A【详解】由题设，即，又，故.故选：A二、多选题9给出下列命题，其中错误命题是（）A若样本数据（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据，的平均数为2B随机变量的方差为，则C随机变量服从正态分布，则D随机变量，若，则【答案】ABD【详解】对于选项A，根据得：，故选项A错误；对于选项B，根据得：，故选项B错误；对于选项C，因为，所以，又因为，则，由正态分布的对称性可得：，故选项C正确；对于选项D，随机变量，根据二项分布的期望和方差公式：，解得，故选项D错误.故选：ABD10已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同第一次从红箱内取出一球
12、后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）ABC第5次取出的球是红球的概率为D前3次取球恰有2次取到红球的概率是【答案】AC【详解】依题意， 设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，对于第次，取出红球有两种情况从红箱取出的概率为，从白箱取出的概率为， 对应，即，故B错误；所以，令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，故，所以，故选项A，C正确；第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，第3次取出球是红球的概率为，前3次取球
13、恰有2次取到红球的概率是，故D错误；故选：AC三、解答题11有甲乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下个球，则求的分布列与数学期望.【答案】（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，所以（2）由题意知：的可能取值为1.2.3.4，当时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的一个球在甲（乙
14、）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球，所以，当时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的球，故当时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，所以，当时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，故.即的分布列为：1234计算可得：12某学校在寒假期间
15、安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：，.【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数.（2）解：参加座谈的11人中，得分在的有人，所以的可能取值为，所以，.所以的分布列为012.（3）解：由（1）知，所以.得分高于77分的人数最有可能是.