1、三角函数与解三角形题型一利用正、余弦定理解三角形例1 (12分)(2021北京卷)已知在ABC中，c2bcos B，C.(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度.cb；周长为42；面积为SABC.第一步利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步由三角方程或条件式求角第三步利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步检验易错易混、规范解题步骤得出结论 训练1 (2021株洲一模)在sin Bcos B1，2bsin Aatan B，(ac)sin Acsin Cbsin B这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.已知
2、ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a，b，若_，求角B的值与ABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)题型二三角形中角或边的最值、范围问题例2 (2022广州一模)在cos C(cos Asin A)cos B0，cos 2B3 cos(AC)1，bcos Ccsin Ba这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若ac1，_，求角B的大小和b的最小值.感悟提升涉及求边的最值或取值范围，一般思路是(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用基本不
3、等式求出范围或最值.训练2 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ab1且满足条件_.(1)求C；(2)求c的取值范围.请从下列两个条件：S(a2b2c2)；tan Atan Btan Atan B中选一个条件补充到横线上并解决问题.题型三三角形面积(周长)的最值或范围问题例3 (2021昆明质检)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(cacos B)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC的面积的取值范围.感悟提升三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法(1)三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的
4、形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解.(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面积(周长)公式建立ab，ab，a2b2之间的等量关系，然后利用基本不等式求解.训练3 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.2ab2ccos B，c.(1)求角C；(2)延长线段AC到点D，使CDCB，求ABD周长的取值范围.巩固练习1.(2020新高考山东卷)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注
5、：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2.(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值.3.(2022泰安一模)已知函数f(x)sin xcoscos2x.(1)求f(x)在上的最值；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f1，a2，ABC的面积为，求sin Bsin C的值.4.(2022武汉质检)在ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，b.(1)若cos Acos C，求ABC的面积；(2)试问1能否成立？若能成立，求此时ABC的周长；若不成立，请说明理由.5.
6、(2020济宁模拟)现给出两个条件：2cb2acos B，(2bc)cos Aacos C.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，_.(1)求A；(2)若a1，求ABC面积的最大值.6.在；2bsin Aatan B；(ac)sin Acsin(AB)bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_.(1)求角B；(2)若ac4，求ABC周长的最小值，并求出此时ABC的面积.三角函数与解三角形（解析版）题型一利用正、余弦定理解三角形例1 (12分)(
7、2021北京卷)已知在ABC中，c2bcos B，C.(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度.cb；周长为42；面积为SABC.规范答题解(1)由正弦定理，得sin C，又c2bcos B，所以sin C2sin Bcos Bsin 2B，又A，B，C为ABC的内角，C，故C2B(舍)或C2B，即B，又ABC，所以A.5分(2)由(1)知，cb，故不能选. 7分选，设BCAC2x，则AB2x，故周长为(42)x42，解得x1.从而BCAC2，AB2.9分设BC中点为D，则在ABD中，由余弦定理，得cos B，解得AD.故BC边上的
8、中线长为.12分选，设BCAC2x，则AB2x，故SABC2x2xsin 120x2，解得x，从而BCAC，AB3. 9分设BC中点为D，则在ABD中，由余弦定理，得cos B，解得AD.故BC边上的中线长为.12分第一步利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步由三角方程或条件式求角第三步利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步检验易错易混、规范解题步骤得出结论 训练1 (2021株洲一模)在sin Bcos B1，2bsin Aatan B，(ac)sin Acsin Cbsin B这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b
9、，c，a，b，若_，求角B的值与ABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解若选：由sin Bcos B1，可得sin，因为B(0，)，所以B，所以B，由正弦定理得sin A，又因为ab，所以A.所以sin Csin sinsin cos cos sin ，所以SABCabsin C.若选：由2bsin Aatan B得2bsin Acos Basin B，结合正弦定理得cos B，因为B(0，)，所以B，以下解法与选相同.若选：由正弦定理，(ac)sin Acsin Cbsin B可化简为a2acc2b2，而cos B，因为B(0，)，所以B，以下解法与选相同.题型二三
10、角形中角或边的最值、范围问题例2 (2022广州一模)在cos C(cos Asin A)cos B0，cos 2B3 cos(AC)1，bcos Ccsin Ba这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若ac1，_，求角B的大小和b的最小值.解选择条件：由cos C(cos Asin A)cos B0，可得cos(AB)cos Acos Bsin Acos B0，即cos Acos Bsin Asin Bcos Acos Bsin Acos B0，即sin Asin Bsin Acos B0，因为sin A0，所以sin Bcos B0，
11、所以tan B，因为B(0，)，所以B.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac13ac，因为ac，当且仅当ac时等号成立，所以b213ac1，所以b，即b的最小值为.选择条件：cos 2B3cos(AC)1，可得2cos2B13cos B1，即2cos2B3cos B20，解得cos B或cos B2(舍)，因为B(0，)，所以B.下同.选择条件：bcos Ccsin Ba，由正弦定理可得sin Bcos Csin Csin Bsin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，即sin Csin Bcos Bsin C，因为sin C0，所以sin
12、 Bcos B，即tan B，因为B(0，)，所以B.下同.感悟提升涉及求边的最值或取值范围，一般思路是(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用基本不等式求出范围或最值.训练2 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ab1且满足条件_.(1)求C；(2)求c的取值范围.请从下列两个条件：S(a2b2c2)；tan Atan Btan Atan B中选一个条件补充到横线上并解决问题.解(1)补充S(a2b2c2).由余弦定理可知2abcos Ca2b2c2，则S2abcos Cabcos C，又Sabsin C，故可
13、得tan C，所以C.补充tan Atan Btan Atan B.由tan Atan Btan Atan B，可得tan(AB)，故tan C，所以C.(2)由余弦定理可知c2a2b22abcos C，又cos C，ab1，c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab13ab.又ab2，a0，b0，0，13ab1，c21，c1，c的取值范围为.题型三三角形面积(周长)的最值或范围问题例3 (2021昆明质检)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(cacos B)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC的面积的取值范围.解(1)由2(cacos B)b及正弦定理得
14、2(sin Csin Acos B)sin B，所以2sin(AB)2sin Acos Bsin B，即2cos Asin Bsin B，因为sin B0，所以cos A，又0A，所以A.(2)因为a2，所以由正弦定理得b4sin B，c4sin C，所以SABCbcsin Abc4sin Bsin C，因为C(AB)B，所以sin Csin.所以SABC4sin Bsin4sin B2sin Bcos B2sin2Bsin 2Bcos 2B2sin.因为0B，所以2B.所以sin1，所以0SABC2，即ABC的面积的取值范围是(0，2.感悟提升三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法(1)
15、三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解.(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面积(周长)公式建立ab，ab，a2b2之间的等量关系，然后利用基本不等式求解.训练3 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.2ab2ccos B，c.(1)求角C；(2)延长线段AC到点D，使CDCB，求ABD周长的取值范围.解(1)2ab2ccos B，根据余弦定理得2ab2c，整理得a2b2c2ab，cos C.C(0，)，C.(2)由题意得BCD为等边三角形，ABD的周长为2ab.2，
16、a2sin A，b2sin B，2ab4sin A2sin B4sin A2sin2sin.A，A，sin，2ab(，2).ABD周长的取值范围是(2，3).巩固练习1.(2020新高考山东卷)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解由C和余弦定理得.选条件.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问
17、题中的三角形存在，此时c1.选条件.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由csin A3，所以cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.选条件.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，与bc矛盾.因此，选条件时问题中的三角形不存在.2.(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值.解(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A.由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦
18、定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B.故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0B，所以当B时，ABC周长取得最大值32.3.(2022泰安一模)已知函数f(x)sin xcoscos2x.(1)求f(x)在上的最值；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f1，a2，ABC的面积为，求sin Bsin C的值.解(1)f(x)sin xcos2xsin xcos xsin2xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.x，2x，sin1，当x时，f(x)min，f(x)max.(2)fsin1，则sin，A(
19、0，)，A，A.SABCbcsin Abc，bc4.又a2，cos A，(bc)224，bc2，又4，sin Bsin C(bc).4.(2022武汉质检)在ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，b.(1)若cos Acos C，求ABC的面积；(2)试问1能否成立？若能成立，求此时ABC的周长；若不成立，请说明理由.解(1)由B，得AC，则cos(AC)cos Acos Csin Asin C，即cos Acos Csin Asin C.又cos Acos C，sin Asin C，2，a2sin A，c2sin C，SABCacsin B2sin A2sin Csin
20、B4sin Asin Bsin C4.(2)假设1成立，acac.由余弦定理得6a2c22accos a2c2ac(ac)2ac，代入可得(ac)2ac60，ac3或ac2(舍)，此时acac3，不满足ac2，1不成立.5.(2020济宁模拟)现给出两个条件：2cb2acos B，(2bc)cos Aacos C.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，_.(1)求A；(2)若a1，求ABC面积的最大值.解选择条件：2cb2acos B，(1)由余弦定理可得2cb2acos B2a，整理可得c2b2a2bc，可得cos A，
21、A(0，)，A.(2)a1，A，由余弦定理a2b2c22bccos A，可得(1)2b2c22bc，42b2c2bc2bcbc，可得bc2，SABCbcsin A2，即ABC面积的最大值为.选择条件：(2bc)cos Aacos C.(1)由题意可得2bcos Aacos Cccos A，2sin Bcos A(sin Acos Csin Ccos A)sin(AC)sin B，sin B0，cos A，A(0，)，A.(2)下同选择条件.6.在；2bsin Aatan B；(ac)sin Acsin(AB)bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC的内角A，
22、B，C所对的边分别是a，b，c，若_.(1)求角B；(2)若ac4，求ABC周长的最小值，并求出此时ABC的面积.解(1)选，由正弦定理得，sin A0，sin Bcos B1，即sin，0B，B，B，B.选，2bsin Aatan B，由正弦定理可得2sin Bsin Asin A，sin A0，且sin B0，cos B，B(0，)，B.选，sin(AB)sin(C)sin C，由已知结合正弦定理可得，(ac)ac2b2，a2c2b2ac，cos B，B(0，)，B.(2)b2a2c22accos B(ac)23ac163ac，即3ac16b2，16b23，解得b2，当且仅当ac2时取等号，bmin2，ABC周长的最小值为6，此时ABC的面积Sacsin B.