1、2抛物线21抛物线及其标准方程知识点一抛物线的定义 填一填平面内与一个定点F和一条定直线l(不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线答一答在定义中，隐含着定点F不在定直线l上平面内到定点A(2,3)和定直线3x4y60距离相等的点的轨迹是抛物线吗？为什么？提示：不是抛物线，而是过点A且与定直线垂直的一条直线，因为点A(2,3)在定直线3x4y60上知识点二抛物线的标准方程 填一填焦点在x轴正半轴上，坐标为(，0)，准线方程为x的抛物线的标准方程是：y22px(p0)答一答抛物线的标准方程共有几种形式？其每种形式表示的意义有什么不同？提示：抛
2、物线的标准方程有4种形式：y22px，y22px，x22py，x22py.(p0)y22px表示焦点在x轴的正半轴上，坐标为(，0)，准线方程为x，p0的抛物线y22px表示焦点在x轴的负半轴上，坐标为(，0)，准线方程为x，p0的抛物线x22py表示焦点在y轴的正半轴上，坐标为(0，)，准线方程为y，p0的抛物线x22py表示焦点在y轴的负半轴上，坐标为(0，)，准线方程为y，p0的抛物线1抛物线定义的几个注意点：(1)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线(2)定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M；一定点F，叫作抛物线的焦点；一条定直
3、线l，叫作抛物线的准线；一定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(3)由定义知抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等，因此这两种距离可以相互转化凡涉及到抛物线上一点到焦点的距离都可以转化为到准线的距离2抛物线的标准方程的几个注意点：(1)抛物线的标准方程有四种类型若x为一次项，则焦点在x轴上；若y为一次项，则焦点在y轴上(2)标准方程中仅有一个参数p，它能确定抛物线的形状，是抛物线定形的条件(3)焦点F的位置，是抛物线定位的条件，它决定了抛物线方程的类型，也就是说，知道了焦点的位置，其标准方程就仅有一种形式，否则标准方程可能有四种类型(4)标准方程中右边一次项系数的正、负
4、号决定抛物线的开口方向，若为正号，则抛物线的开口朝正方向，否则朝负方向(5)求抛物线标准方程常用的方法：待定系数法，即设出适合条件的抛物线的标准方程，利用已知条件建立待定系数的方程，并求解出待定系数，进而写出方程定义法，抛物线的定义是求其标准方程的基础，只要由抛物线的定义得到参数p的值，即可求得抛物线的方程题型一抛物线的定义及其应用【例1】(1)若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x(2)点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程【思路探究】(1)可利用抛物线定义的条件(2)解决此题
5、应利用抛物线定义较简单【解析】(1)设动圆的半径为r，圆心为O(x，y)，且O到点(2,0)的距离为r1，O到直线x1的距离为r，所以O到(2,0)的距离与到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知y28x.(2)解：如图，设点M的坐标为(x，y)由已知条件，“点M到点F的距离比它到直线l：x50的距离小1”，就是“点M到点F的距离等于它到直线 x40的距离”根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线4，p8.焦点在x轴的正半轴上，点M的轨迹方程为y216x.【答案】(1)A(2)见解析规律方法 若将条件化为|MF|1|x5|，其中|MF|用两点间距离公式表示，再化简也可得方程，但
6、这种化简过程比较繁琐(1)过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(D)A圆B椭圆C直线D抛物线解析：(1)如图所示，设P为满足条件的一点，不难得出结论：P到点A的距离等于到y轴的距离，故点P在以A为焦点，以y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，因此选D.(2)动点M到定点F(1,0)的距离与到定直线x1的距离相等，求动点M的轨迹方程解：方法1：(直接法)设M(x，y)，则|x1|，化简得y24x，即为所求的点M的轨迹方程方法2：(定义法)由题意，所求的轨迹是以点F为焦点的抛物线，在坐标系中是标准位置，故其方程为y24x.题型二求抛物线的标准方程【例2】根据下列条件求抛物线的标准方
7、程(1)焦点是直线2x3y20与x轴的交点；(2)准线是过椭圆1的左焦点且与x轴垂直的直线；(3)过点P(2，4)【思路探究】(1)求出焦点坐标，即得抛物线的标准方程(2)求出准线方程，即得抛物线的标准方程(3)已知抛物线上一点，标准方程有两种形式，设出标准方程，用待定系数法求解【解】(1)令y0，得x1，即焦点为(1,0)，于是有1，即p2，故抛物线的标准方程为y24x.(2)因为a3，b2，所以c，即椭圆的左焦点为(，0)由题可知，抛物线的准线方程为x，于是有，p2.故抛物线的标准方程为y24x.(3)如图所示，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y22p1x(p10)或x
8、22p2y(p20)分别将点P的坐标代入上述方程，解得p14，p2.所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y28x和x2y.规律方法 求抛物线的标准方程的两种方法：(1)直接法：直接利用已知条件确定参数p及其开口方向(2)待定系数法：根据题设条件，设出抛物线的方程，并待定出参数p.对于焦点在x轴上的抛物线，为避免分类讨论，可将抛物线方程设成y2mx(m0)的形式若m0，则开口向右；若m0)由|AF|3，得23，p2，抛物线的标准方程为x24y.题型三抛物线方程的实际应用【例3】某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4 m，此车能否
9、通过此隧道？请说明理由【思路探究】可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断【解】能通过理由如下：建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，当x3时，y3，即点(3，3)在抛物线上代入得2p3，故抛物线方程为x23y.已知集装箱的宽为3 m，当x时，y，而桥高为5 m，所以544.故卡车可通过此隧道规律方法 (1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图表、字母等)表达、分析、解决问题(2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物
10、线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得方程的形式更为简单，便于计算某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m时，水面宽10 m，抛物线的方程可能是(A)Ax2yBx2yCx2yDx2y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x22py(p0)，则P(5，6)在抛物线上252p(6)，p.抛物线方程为x2y.题型四求抛物线上一点到定点的最值问题【例4】已知抛物线x24y，点P是此抛物线上的动点，点A的坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴距离之和的最小值【思路探究】由于x轴平行于准线，所以|PF|和P到准线的距离d相等，故|PA|PC|PA|d1|PF|PA|1.【解】
11、将x12代入x24y得y366，点A在抛物线外部，抛物线焦点为F(0,1)，准线l：y1，过P作PBl于点B，交x轴于点C，则|PA|PC|PA|PB|1|PA|PF|1.由下图可知，当A，P，F三点共线时，|PA|PF|最小，|PA|PF|的最小值为|FA|13.故|PA|PC|的最小值为12.规律方法 解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种解题方法：定义法；函数法在抛物线y22x上求一点P，使其到直线l：xy40的距离最小，并求最小距离解
12、：方法1：设P(x0，y0)是抛物线上的点，则x0，P到直线xy40的距离为d.故当点P的坐标为时，d有最小值.方法2：因为无实根，所以直线与抛物线没有公共点设与直线xy40平行的直线为xym0.消去x得y22y2m0，设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点所以48m0，所以m.代入得y1，x.即点P到直线xy40最小，距离d.易错警示抛物线的应用错误【例5】求与圆(x3)2y29外切，且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程【误解】设轨迹上任意一点P(x，y)，圆(x3)2y29的圆心A(3,0)，半径r3.设圆P的半径为r0，如图所示，|AP|r03.P到直线l：x3的距离|PP|r03，故P的轨
13、迹是以A(3,0)为焦点以l：x3为准线的抛物线，其方程为y212x(x0)【正解】设轨迹上任意一点为P(x，y)圆(x3)2y29的圆心A(3,0)，半径r3，由题意|AP|r|x|，|x|3(x0)当x0时，y212x；当x0)和y0(x0)求过点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程解：(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x0，由得即直线x0与抛物线只有一个公共点(2)若直线的斜率存在，设为k，则过点P(0,1)的直线方程为ykx1，由方程组消去y，得k2x22(k1)x10.当k0时，得即直线y1与抛物线只有一个公共点；当k0时，直线与抛物线只有一个公
14、共点，则4(k1)24k20，所以k，直线方程为yx1.综上所述，所求直线方程为x0或y1或yx1.1抛物线x2ay的准线方程是y2，则实数a的值为(B)A8B8C.D解析：抛物线准线为y2，2，a8.2动圆过点(0,1)且与直线y1相切，则动圆圆心的轨迹方程为(C)Ay0Bx2y21Cx24yDy24x解析：根据抛物线的定义知，圆心的轨迹是以(0,1)为焦点，y1为准线的抛物线，其抛物线的标准方程是x24y.3抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(D)A2B3C4D5解析：x24y，当y4时，A点坐标为(4,4)或(4,4)，焦点为(0,1)，点A与抛物线的焦点的距离为5.4抛物线y28x的准线方程为x2，焦点坐标为(2,0)解析：y28x，2p8，p4，准线为x2，焦点为(2,0)5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，求|AB|的值解：y24x，准线为x1，焦点为F(1,0)，|AB|AF|BF|x11x212(x1x2)又x1x26，|AB|268.