1、2.2.4均值不等式及其应用(教师独具内容)课程标准：1.理解均值不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握均值不等式及变形的应用.5.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题教学难点：均值不等式条件的创造.【情境导学】(教师独具内容)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2，四周空
2、白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【知识导学】知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式(1)一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB|ab|，这是数轴上两点之间的距离公式(2)如果线段AB的中点M的坐标为x.若ab，则ax0，b0，且ab，则ab2.()(3)当x1时，函数yx2，所以函数y的最小值是2.()(4)式子x的最小值为2.()(5)若xR，则x22的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m212m等号成立的条件是_
3、(2)2成立的条件是_(3)x1，则x的最小值为_(4)若a0，b0，且ab2，则的最小值为_答案(1)m1(2)a与b同号(3)3(4)2题型一 对均值不等式的理解例1给出下面三个推导过程：因为a，b(0，)，所以2 2；因为aR，a0，所以a2 4；因为x，yR，xy0，所以2 2.其中正确的推导过程为()A B C D解析从均值不等式成立的条件考虑因为a，b(0，)，所以，(0，)，符合均值不等式成立的条件，故正确；因为aR，a0不符合均值不等式成立的条件，所以a24是错误的；由xy0，y0，且1，求xy的最小值；(2)已知正实数x，y满足2xy6xy，求xy的最小值；(3)已知实数x，
4、y满足x2y2xy1，求xy的最大值解(1)x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.(2)2xy6xy，y，x1，xy22218.当且仅当x3时，等号成立，xy的最小值为18.(3)因为1x2y2xy(xy)2xy(xy)22，所以(xy)2，即xy，当且仅当xy0，且x2y2xy1，即xy时，等号成立，xy的最大值为.结论探究若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值？解，又因为1，所以1，6，xy36，当且仅当y9x，即x2，y18时，等号成立所以(xy)min36.金版点睛利用均值不等式求代数式的最值
5、(1)利用均值不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式(1)已知正数x，y满足x2y1，求的最小值；(2)已知x0，y0，且满足1，求xy的最大值解(1)x，y为正数，且x2y1，(x2y)332，当且仅当，即当x1，y1时等号成立的最小值为32.(2)1，12. ，当且仅当，即x，y2时等号成立xy3，即xy的最大值为3.题型四 利用均值不等式求函数的最值例4(1)求yx(x3)的最小值；(2)已
6、知0x3，x30，0，y235.当且仅当x3，即x4时，y取得最小值5.(2)0x0，yx(13x)3x(13x)2.当且仅当3x13x，即x时，取等号，当x时，函数取得最大值.(3)x1，x10，yx1121，当且仅当x1，即x1时，函数y取得最小值21.条件探究在本例(1)中把“x3”改为“x3”，yx的最值又如何？解x3，x30，yx(3x)3323231.当且仅当3x，即x2时，取等号故函数yx(x3)有最大值1，没有最小值金版点睛利用均值不等式求函数的最值(1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用
7、均值不等式的条件(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法(1)已知x1，则y的最小值为_答案(1)1(2)4解析(1)x0.y4x2323231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立故当x1时，y的最大值为1.(2)x1，yx1x12224，当且仅当x1，即(x1)21时，等号成立，当x2时，y的最小值为4.题型五 利用均值不等式证明不等式例5已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：3.证明33.a，b，c都是正数，2 2，同理2，2，a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，6，3.金版点睛利用均值不等式证明不等式(1)利用均值不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合
8、理选择均值不等式及其变形不等式来证，如a2b22ab(a，bR)，可变形为ab；(a0，b0)可变形为ab2等同时要从整体上把握均值不等式，如a4b42a2b2，a2b2b2c22(ab)(bc)，都是对“a2b22ab，a，bR”的灵活应用(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件已知a，b，c(0，)，且abc1.求证：10.证明4422210，当且仅当abc时取等号，10.1ab0，则下列不等式中总成立的是()A. B.C. D.b，ab1，求证：a2b22(ab)证明ab，ab0，又ab1，ab22，即2，即a2b22(ab)，当且仅当ab，即ab时取等号