1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1基本事实与推论(1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面即不共线的三点确定一个平面(2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(2)位置关系的分类空间直线(3)基本事实4：平行
2、于同一条直线的两条直线平行.(4)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(5)异面直线所成的角定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个1异面直线判定的一个方法与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线2唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)
3、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直1若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或bDb与相交或b或b答案D解析b与相交或b或b都可以故选D.2已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行答案C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据基本事实4，知ab，与a，b为异面直线矛盾，D错误故选C3(多选)下列命题中正确的有()A一条直线和一个点可
4、以确定一个平面B经过两条相交直线，有且只有一个平面C经过两条平行直线，有且只有一个平面D分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点一定在两个平面的交线上答案BCD解析对于A，当这个点在直线上时，无法确定一个平面，故A错误；对于B，C，均为基本事实的推论，故B，C正确；对于D，交点分别在两条直线上，也分别在两个平面内，必然在交线上，故D正确故选BCD.4(多选)如图，l，A，C，Cl，直线ABlD，A，B，C三点确定的平面记为，则平面与的交线必过()A点A B点BC点C D点D答案CD解析因为ABlD，所以DAB.又A，B，C三点确定平面，所以C，D.又C，D，故C，D在和的交线上故选CD.
5、5设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中错误的是_(写出所有错误命题的序号)答案解析由基本事实4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错误；a，b，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故错误6如图，在四棱锥PABCD中，O为CD上的动点，VPOAB恒为定值，且PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成的角的大小是_.答案60解析因为VPOAB为定值，所以SABO为
6、定值，即O到AB的距离为定值因为O为CD上的动点，所以CDAB.所以PDC即为异面直线PD与AB所成的角因为PDC为等边三角形，所以PDC60.所以直线PD与直线AB所成的角为60.考向一基本事实的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1.E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，直线CE与直线D1F必相交，设交点为P.则由PCE，CE平面ABCD，得P平
7、面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点 1证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合2证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上3证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点提醒：点共线、线共点等都是应用基本事实3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上1如图，空间四边形ABCD中，E，F
8、分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EF綊BD，GH綊BD.四边形FEGH为梯形，直线GE与直线HF交于一点，设EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC同理P平面ADCP为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线多角度探究突破考向二空间两条直线的位置关系角度两条直线位置关系的判定例2(1)已
9、知平面平面直线l，点A，C平面，点B，D平面，且A，B，C，Dl，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是()A当CD2AB时，M，N不可能重合BM，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当直线AB，CD相交，且ACl时，BD可与l相交D当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行答案B解析对于A，当CD2AB时，若A，B，C，D四点共面且ACBD，则M，N两点能重合，可知A错误；对于B，若M，N重合，则ACBD，则AC平面，故ACl，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；对于C，当AB与CD相交，且ACl时，直线BD与l平行，可知C错误；对于D，当AB与CD是异面直线时，
10、MN不可能与l平行，可知D错误故选B.(2)(多选)(2021新高考八省联考)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()AAECD BCHBECDGBH DBGDE答案BCD解析由正方体的平面展开图还原正方体如图由图形可知，AECD，故A错误；因为HEBC，HEBC，所以四边形BCHE为平行四边形，所以CHBE，故B正确；因为DGHC，DGBC，HCBCC，所以DG平面BHC，所以DGBH，故C正确；因为BGAH，而DEAH，所以BGDE，故D正确故选BCD.角度异面直线的判定例3如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号)
11、答案解析中GHMN；中GMHN且GMHN，所以直线GH与MN必相交；中直线GH与MN是异面直线 空间两条直线位置关系的判定方法2.已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()A平行 B相交C垂直 D异面答案C解析直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错误；当l时，在平面内不存在与l异面的直线，D错误；当l时，在平面内不存在与l相交的直线，B错误；无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直，C正确故选C3如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为()A1 B2 C3 D4答案C解析还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分
12、别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.考向三异面直线所成的角例4(1)如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF与AC所成的角为()A30 B45 C60 D90答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.E，F分别为CD，AB的中点，FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.EFG为EF与AC所成的角ACBD，FGEG.ACBD，FGEG，FGE90，EFG为等腰直角三角形，EFG45，即EF与AC所成的角为45.故选B.(2)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的
13、角是_.答案60解析如图所示，连接A1B，可知A1BE1D，A1BC1是异面直线E1D与BC1所成的角连接A1C1，可求得A1C1C1BBA1，A1BC160，即侧面对角线E1D与BC1所成的角是60.求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成角的三步曲：“一作、二证、三求”一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角二证：证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补
14、角才是要求的角其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解4.(2021全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A B C D答案D解析如图，连接A1C1，BC1，因为AD1BC1，所以PBC1为直线PB与AD1所成的角设正方体的棱长为2，则PB，PC1，BC12，则PB2PCBC，在RtPBC1中，因为sinPBC1，所以直线PB与AD1所成的角为.故选D.5已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点若AB2，CD4
15、，EFAB，则EF与CD所成角的度数为()A90 B45 C60 D30答案D解析如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中位线由此可得，GFAB，且GFAB1，GECD，且GECD2，FEG或其补角即为EF与CD所成的角又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sinFEG，可得FEG30，EF与CD所成角的度数为30.故选D.巧用方法求异面直线所成的角(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A BC D答案C解析解法一：(补形法)如图，补上一相同的长方
16、体CDEFC1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1DE1，则B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，所以DE1 2，DB1，B1E1，在B1DE1中，由余弦定理，得cosB1DE1，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C解法二：(平移法)如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，所以AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定
17、理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C解法三：(坐标法)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知D(0,0,0)，A(1，0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以(1，0，)，(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形对点训练已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面
18、直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A BC D答案C解析解法一：(补形法)如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1，故选C解法二：(平移法)如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MNAB1，NPBC1，所以PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角易知MNAB1，NPB
19、C1.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知PQM为直角三角形，PQ1，MQAC在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，所以AC，MQ.在RtMQP中，MP，则在PMN中，cosPNM，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.故选C解法三：(坐标法)作BHAC，H为垂足作B1H1A1C1，H1为垂足以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向，建立空间直角坐标系由已知可得BH，AH，CH，则A，B，B1，C1，从而，cos，.故选C一、单项选择题1已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，且，则下列结论一定正确的是()
20、Amn BmnCm与n相交 Dm与n异面答案A解析若，m，则直线m与平面的位置关系有两种：m或m.当m时，又n，所以mn；当m时，又n，所以mn.故选A2下列命题中正确的个数为()若直线l上有无数个点不在平面内，则l；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A0 B1 C2 D3答案B解析如图所示，借助长方体模型来判断棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题错误；A1B1AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD，所以命题错误；直线l与平
21、面平行，则l与无公共点，l与平面内所有直线都没有公共点，所以命题正确故选B.3如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A B C D答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.4(2022湖南岳阳月考)在三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EFHGP，则点P()A一定在直线BD上B一定在直线
22、AC上C在直线AC或BD上D不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF平面ABC，HG平面ACD，EFHGP，所以P平面ABC，P平面ACD.又因为平面ABC平面ACDAC，所以PAC故选B.5设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A存在唯一直线l，使得la，且lbB存在唯一直线l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a，且b答案C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中，如图，由图可知A错误；由la，且lb，可得ab，与题设矛盾，故B错误；由a，且b，可得ab，与题设矛盾，D错误故选C6如图，点P，Q，R，S分别在正
23、方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图形是()答案C解析A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RPSQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线故选C7(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，M
24、G，GB，BD，BE.点N为正方形ABCD的中心，点N在BD上，且为BD的中点ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.M，G分别是ED，DF的中点，MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG ，BM.BMEN.BM，EN都是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.8如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB12，BC3，AA14，N在A1B1上，且B1N4，则异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为()A B C D答案B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC1的长方体B1F，如图所示连接C
25、1E，NE，则C1EBD1，于是NC1E即为异面直线BD1与C1N所成的角(或其补角)在NC1E中，根据已知条件可求C1N5，C1E13，EN4.由余弦定理，得cosNC1E.所以异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为.故选B.二、多项选择题9(2022山东菏泽一中模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是()A直线AM与C1C是相交直线B直线AM与BN是平行直线C直线BN与MB1是异面直线D直线MN与AC所成的角为60答案CD解析结合图形，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，故A，
26、B错误，C正确；直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，ACD160，所以直线MN与AC所成的角为60，故D正确10一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCDBAB与CD异面CABCDDAB与CD所成的角为60答案BD解析将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60.故选BD.11(2022重庆模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1共面CA，M，C，O
27、共面DB，B1，O，M共面答案ABC解析MA1C，A1C平面A1ACC1，M平面A1ACC1，又M平面AB1D1，M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，平面BB1D1D平面AB1D1B1D1，M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面故选ABC12(2022广东揭阳高三摸底)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，下列结论中正确的是()A当直线AB与a成60角时，AB与b成30角B当直线AB与a成60角时，AB与b成60角C直线AB
28、与a所成角的最小值为45D直线AB与a所成角的最大值为60答案BC解析由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又ACa，ACb，AC圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作BDa，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DEBD，所以DEb，连接AD，设BC1，在等腰三角形ABD中，ABAD，当直线AB与a成60角时，ABD60，故BD，又在RtBDE中，BE2，所以DE，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，EF，所以BFDE，所以ABF为等边三角形，所以ABF60，即AB与b成60角，故B正确，A错误；当aBC或a与BC重合时，可知C正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，所
29、以直线AB与a所成角的最大值为90，D错误故选BC三、填空题13如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_.答案解析将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)DEF，如图，对于，G，H分别为DE，BE的中点，则GHAD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故错误；对于，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故正确；对于，依题意，得GHAD，MNAF，DAF60，故
30、GH与MN成60角，故正确；对于，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，DE平面AGF，DEAF，而AFMN，DE与MN垂直，故正确综上所述，正确命题的序号是.14(2022辽宁营口阶段考试)小明同学对棱长为2的正方体的性质进行研究，得到了如下结论：12条棱中可构成16对异面直线；过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形；以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是44；与正方体各棱相切的球的体积是.其中正确结论的序号是_.答案解析对于，12条棱中可构成异面直线的有24对，原因为：对于每一条棱，有三条和它平行，四条和它相交，因此有4条和它异面，而扩展到12条棱为12
31、4 48，而由于两条作为一对，需要再除以2，得到24对，故错误；对于，如图，过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形，故错误；对于先画出图形如下：正八面体每个面是全等的正三角形，棱长为，表面积为8()24，故错误；对于，由于此球与正方体的各棱相切，则球的半径正好是正方体的面对角线的一半，正方体的棱长为2，则球的半径是R，则VR3()3，故正确15已知在三棱锥ABCD中，ABCD，且异面直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AB与MN所成的角为_.答案60或30解析如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所
32、以MPN(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角，则MPN60或MPN120.因为PMAB，所以PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角当MPN60时，因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即异面直线AB与MN所成的角为60.当MPN120时，易知PMN是等腰三角形，所以PMN30，即异面直线AB与MN所成的角为30.综上，异面直线AB与MN所成的角为60或30.16如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是O1的直径，C是上底面圆周上一点，CBD30，若A，C两点间的距离为，则圆柱O1O2的高为_，异面直线AC与BD所成角的余弦值为_.答案2
33、解析连接CD，则BCD90，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD2.因为CBD30，所以CD1，BC，易知ABBC，所以AC，所以AB2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE2，CAE即为异面直线AC与BD所成的角又CE，所以cosCAE.四、解答题17(2021山东青岛检测)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD ，BEAF且BEAF，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证
34、明：由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC四边形BCHG为平行四边形(2)BE綊AF，G是FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面，又DFH，C，D，F，E四点共面18(2020全国卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1.证明：(1)当ABBC时，EFAC；(2)点C1在平面AEF内证明(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1.连接BD，B1D1.ABBC，四边形ABCD为正方形，
35、ACBD.BB1BDB，BB1，BD平面BB1D1D，AC平面BB1D1D.EF平面BB1D1D，EFAC(2)在CC1上取点M使得CM2MC1，连接DM，MF，EC1，D1E2ED，DD1CC1，DD1CC1，EDMC1，EDMC1.四边形DMC1E为平行四边形，DMEC1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，BF2FB1，CM2MC1，DACB，DACB，MFCB，MFCB，MFDA，MFDA，四边形MFAD为平行四边形，DMAF，EC1AF.点C1在平面AEF内19已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面ABC的中心，如图所示(1)连接BC1
36、，求异面直线AA1与BC1所成的角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积解(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点点O是正三角形ABC的中心，且A1O平面ABC，BCAD，BCA1O.ADA1OO，BC平面ADA1.BCAA1.又AA1CC1，异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C或其补角CC1BC，且侧棱长和底面边长均为2，四边形BCC1B1为正方形，BC1C45，异面直线AA1与BC1所成的角为45.(2)三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，可求得AD，AOAD，A1O.VABCA1B1C1SABCA1O2，VA1B1C1CBVABCA1B1C1VA1ABC.VC1BCA1VA1BCC1VA1BCC1B1.
