1、第十九讲 数学思考与综合实践第一部分：趣味数学数学思维小游戏：盲人方阵适用对象：各个年龄段道具要求：长绳一根场地要求：空旷的大场地游戏人数：25-30人详细游戏规则：让所有队员被蒙上眼睛，在四十分钟内，将一根绳子拉成一个最大的正方形，并且所有队员都要均分在四条边上。预期效果：这个项目教会所有学员如何在信息不充分的条件下寻找出路，大家耗用时间最长、最混乱、所有人最焦虑的时候是在领导人选出、方案确定之前，当领导人产生、有序的组织开始运转的时候，大家虽然未有胜算，但心底已坦然了许多。而行动方案得到大家的认同并推进，使学员们在同心协力中初尝着胜利的喜悦。第二部分：习题精讲例题1： 枚举法小华和小伟玩掷
2、骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出.若两枚骰子的点数和为7,则小华赢；若点数和为8,则小伟赢。试判断他们两人谁获胜的可能性大。分析：我们可以把他们掷骰子的情况一一列举,再比较出现7的情况共有6种,它们是:1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1.出现8的情况共有5种,它们是2+6,3+5,4+4,5+3,6+2.所以,小华获胜的可能性大。练习1：1.一个小于40的三位数,它是完全平方数；它的前两个数字组成的两位数还是完全平方数；其个位数也是一个完全平方数,那么这个三位数是多少？2.用1、3、4、5、7、8、9组成没有重复数字的四位数,得到的数从小到大排成一列，第119个数是多少?3.有一
3、只无盖立方体纸箱,将它沿棱剪开成平面展开图.那么,共有多少种不同的展开图?(对称的算一种)例题2：趣味构造什么是构造呢?就是按照某种要求,经过适当的逻辑推理分析,设计出合乎要求的模型或具体对象,也可以是设计出具体对象来肯定或否定已提出的命题。写出7个连续的自然数,它们都是合数。分析：我们设这7个连续的自然数分别为n+2、n+3、n+4、n+5、n+6、n+7、n+8。如果n是2、3、4、5、6、7、8的公倍数,那么,n+2一定是2的倍数。n+3一定是3的倍数,n+4一定是4的倍数n+8一定是8的倍数。因为它们除1以外,还有其他的因数,因此是连续的合数，所以我们可以取n为3、4、5、6、7、8的
4、最小公倍数是840。所以,这7个连续的自然数是842、843、844、845、846、847、848。练习2：1.写出8个连续的自然数,它们都是合数。2.有4张卡片,上面分别写着一个自然数,请你用四则运算符号和括号把4个数组成算式,使计算结果等于24。(1)3,3,7,7;(2)1,8,12,123.已知1/A+1/B=1/15,其中AB,那么A与B分别是多少？例题3：把自然数1,2,3,4,2015,如下表排列成5列那么,“2015“在第几列?第一列第二列第三列第四列第五列123459876101112131418171615分析：我们把每9个数看作一组,然后通过计算判断2015在第几列，2
5、0159=2238所以,“2015”在第三列。练习3：1.1.7777 所得积的个位数字是多少?90个72.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是:1,1,2,3,5,8,13,21,这串数的前100个数中有多少个偶数？3.有一排算式:1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,2+19,那么,( )+( )=1994例题4：有甲、乙两个同样的容器,甲中有500克水,乙是空的，第一次将甲的1/2倒入乙，第二次将乙的1/3倒人甲中，第三次将甲的1/4倒人乙中,第四次将乙的1/5倒人甲中；第五次将甲的
6、1/6倒入乙中(1)在下面的表格中填出前5次倒水的结果甲乙原来5000第一次第二次第三次第四次第五次 (2)根据上面的规律,当第17次将甲的1/18倒入乙中后,甲中还有多少克水?(3)根据上面的规律,当第24次将乙的1/25倒入甲中后,乙中还有多少水?分析：(1)在下面的表格中分别填出前5次倒水的结果。 (2)从表格中可以发现,倒奇数次时,甲、乙两个容器中的水都是250克，所 以第17次将甲的1/18倒人乙中后,甲中还有250克水。(3)根据上面的规律,第23次将甲的1/24倒入乙中后,两个容器中的水都是倒入250克所以,当第24次将乙的1/25去倒人甲中后,乙中还有250(1-1/25)=2
7、40克水练习4：1.一根铁丝,第一次剪去它的1/2,第二次剪去剩下的1/3,第三次剪去剩下的1/4,第四次剪去剩下的1/5剪了99次以后,剩下的铁丝是原来的几分之几？2.的个位数字是多少？3.已知平面上画5个圆最多可以把平面分成22个部分,如果再画一条直线,那么最多可以把平面分成多少个部分? 例题5：小明参加射击比赛,他射了十发,中靶情况如图所示.小明射中靶子的概率是多少?如果让他再射二十发,情况会怎样?分析：小明射了10发,由图可知中靶8发,所以小明中靶的概率是80%。如果再让他射20发的话,结果是不一定的,也许一发未中,也许发发命中,也许中一发或两发练习5：1.某类灯泡使用时数在1000小
8、时以上的概率为5/7,试求两个灯泡都使用1000小时以上的概率。2.布袋中有大小一样的红球10个,蓝球8个，现在从中摸出一个球,这个球是红球的概率是多少?如果从中摸出两个球,那么这两个球都是红球的概率是多少?3.一个袋子里有黄色和白色的乒乓球各10个,(1)从袋子里任意摸出一个球,摸到黄球的可能性是几分之几?(2)从袋子里任意摸出两个球,摸到一黄一白的可能性是几分之几?第三部分：数学史 枚举法在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法。枚举法是利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进
9、行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性。 参考答案：练习1：1.这道题有三个条件:(1)一个小于400的三位数是完全平方数；(2)这个三位数的前两位数字组成的两位数还是完全平方数；(3)这个三位数的个位数也是一个完全平方数。先找出满足第一个条件的三位数:100,121,144,169,196,225,256,289,324,361。再考虑第二个条件,从中选出符合条件的数:169,256,361。最后,考虑第三个条件,符合条件的只有169和、361。2.按从小到大的无重复数字的四位数顺序:前两位数是13的有20个；前两位数是14的有20个前两位数是19的有20个。以上共有120个数,第120个数是19中最大的不重复的四位数,即为1987,那么第119个数就是1985。3.我们将展开图按最长一行有多少个正方形(纸箱的面)来分类,可以分为三类:最长一行有4个正方形的有2种,见图(1)(2)；最长一行有3个正方形的有5种,见图(3)-(7)；最长一行有2个正方形的有1种,见图(8).所以,不同的展开图共有2+5+1=8(种)练习2： 练习3：练习4：1.2.3.练习5：1.2.3.
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