1、第九讲 最大最小问题第一部分：趣味数学短跑比赛加特林和格林都是短跑名将。有一天,他们俩进行百米短跑比赛,结果当格林跑到90米的地方时,加特林刚好冲过了终点。格林不服气,说:“其实我们也就差了10米。如果你比我多跑10米的话,我们肯定一起冲过终点。”加特林同意了格林的建议。令格林吃惊的是,当加特林冲过110米的终点的时候,自己还没有跑到百米的终点呢!格林只好甘拜下风。请你想一想,第二次格林为什么又输了呢?原来如此：根据速度=路程时间,假设第一次比赛的时候,所用的中间是加特林的速度就是100101而格林的速度只有90100=0.9.第二次比赛,加特林跑110米用的时间是110100=,而格林跑10
2、0米用的时间是10090=。比较和这两个数的大小,仍然是加特林用的时间少,所以加特林赢。第二部分：习题精讲专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。例题1：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就
3、是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99的最大值是= 答：的最大值是。练习1：1.设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求的最大值。2.a和b是小于50的两个不同的自然数，且ab，求的最小值。3.设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且xy，求的最大值；求的最小值。例题2： 有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。练习2：1.
4、有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？2.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的。这两个两位数的和最小是多少？3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例题3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是999989211078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+179个
5、。答：这样的数对共有79个。练习3：1.两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？2.如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？3.如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？例题4：三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？因为：最大数中间数最小数中间数114，即：（最大数最小数）中间数114而三个连续自然数中，最大数最小数2，因此，中间数是114257，
6、最小数是57156答：最小数是56。练习4：1.三个连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是_。2.a、b、c是从小到大排列的三个数，且abbc，前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b35，那么c是_。3.被分数，除得的结果都是整数的最小分数是_。例题5：三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886222能得到三个数字的和。设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba （a+b+c）100
7、2+（a+b+c）1002+（a+b+c）1002 （a+b+c）222 2886即a+b+c288622213答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。练习5：1.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？2.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？3.用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？第三部分：数学史代数之父一韦达16世纪末,法国和西
8、班牙正在打仗。西班牙军队使用复杂的密码来传递消息,即使信件被敌人发现,也不明白是什么意思。有一次,法国军队截获了一些秘密的信件,据推测是西班牙军队的重要调动情报,可是就是没有办法破译密码。无奈之下,法军将领请来了当时著名的数学家韦达。韦达经过番艰苦的研究,终于揭开了密码的奥秘。从此以后,法国军队对敌人的动态了如指掌,总是能够先敌一步作出正确的决定,因此逐渐掌握了战争的主动权,两年后就战胜了西班牙。西班牙人非常恼火,他们断定法国人使用了某种魔法。韦达的努力,为自己祖国的胜利做出了重要的贡献。在破译密码的时候,韦达很受启发。他想,密码是大家事先约定好的一套符号,在数学中,为什么我们不可以借助这样的
9、做法呢?数学家们可以用约定好的符号来表示特定的意思,这样书写、计算的时候就方便多了。在这样的思想引导下,韦达进行了深入的研究,他不但用字母来表示数,还用字母来表示方程中的系数,例如一次方程可以表示为ax+b=0,在那个时候,这是一种非常具有开拓性的方法。韦达的贡献使他赢得了“代数之父”的美誉,后世的数学家们在他的基础上,不断地完善代数的符号体系。直到今天,数学还在发展,它的语言还在不断丰富之中。参考答案：练习1：1. 2. 3. （1）399 （2） 练习2：1.甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。2.甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。3.一、二、
10、三道工序所需的工人数的比是：14：21：24，所以至少安排14+21+2459个工人。练习3：1.9999+（99998921）110772.较小的数最大是（5211）2262，100262共有163个自然数,所以共有163对,两个数的差最大是5251001003253.数对共有999934561000+15544个，两个数的和最大是99993456+999916542，两个数的和最小是1000+3456+10005456练习4：1.最大数最小数4 中间数252463 最小数632612.根据题意可得（ac）b280，进而可以推出ac280b280358，所以，c3582313.所求的分数，它的分子是6，5，10的最小公倍数，分母是7，14，21的最大公约数，所以答案是。练习5：1.符合题意的三个数字之和是310822214，因此，所有这样的6个三位数中最大的一个是941（三个数字不能有0，否则就不能排出6个不同的三位数）。2.三个数字的和是222022210，最小的一个是127。3.最小的数是346。
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