1、第 讲 7二次函数（第一课时）第二章 函数 考点搜索二次函数的基本知识实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根的符号与二次方程系数之间的关系已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范围一元二次方程根的分布二次函数在闭区间上的最值高高考猜想高考中很多问题最后都要化归为二次函数问题来解决，因而必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决实际问题；高考中若出现二次函数与方程、不等式的综合题，一般难度较大，平时应注意这方面能力的培养.一、二次函数的图象特征1.a0时，开口，0时与x轴的为方程ax2+bx+c=0的两实根；0时，抛物线与x轴，恒成立.向上
2、交点的横坐标不相交ax2+bx+c02.a0时，开口，0时与x轴为方程ax2+bx+c=0的两实根；0时，抛物线与x轴，恒成立.向下交点的横坐标不相交ax2+bx+c0二、二次函数的解析式1.一般式：f(x)=(a0).2.顶点式：f(x)=(a0).3.零点式：f(x)=(a0，x1，x2为两实根).ax2+bx+ca(x-h)2+ka(x-x1)(x-x2)三、二次函数在闭区间上的最大值和最小值设f(x)=a(x-k)2+h(a0)，在区间m，n上的最值问题有：1.若km，n，则ymin=f(k)=，ymax=maxf(m)，f(n).h2.若km，n，则当km时，ymin=，ymax=;
3、当kn时，ymin=，ymax=.(当a0)时，可仿此讨论).f(n)f(m)f(m)f(n)1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1)，与y轴的交点坐标为(0,11)，则()A.a=1,b=-4,c=-11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=11二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1)f(x)=a(x-2)2-1，又f(x)与y轴的交点坐标为(0,11),所以f(0)=a(0-2)2-1=11，解得a=3，所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.故选D.答案：D2.设a为常
4、数，f(x)=x2-4x+3,若函数f(x+a)为偶函数，则a=；ff(a)=.由函数f(x+a)为偶函数，知f(x)关于直线x=a对称，而f(x)=x2-4x+3的对称轴是直线x=2,所以a=2，从而ff(a)=ff(2)=f(-1)=8.283.已知函数f(x)=x2+4x(x0)4x-x2(xf(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)由题知f(x)在R上是增函数，故得2-a2a，解得-2a1，即a2时，函数在-1,1上单调递增，由得()()aytaa 221224，at 2，a 112，14()()aytaa 2
5、2122412yaa max1124，.a 103(3)当即a-2时，函数在-1,1上单调递减，由得a=-2(舍去).综上可得：a=-2或a 12，()()aytaa 22122412yaa max1124，.a 103点评：二次函数在闭区间的最值，一般与区间的端点及顶点值有关；而含参二次函数在闭区间上的最值问题，一般根据对称轴与闭区间的位置关系来分类讨论，如：轴在区间左边，轴在区间上，轴在区间右边，最后再综合归纳得出结论.函数f(x)=2x2-6x+1在区间-1，1上的最小值是，最大值是.当x=1时，f(x)min=-3;当x=-1时，f(x)max=9.()()f xx237222，39题
6、型三：三个二次的关系3.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.(1)因为f(x)+2x0的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0.因此f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0.因为方程有两个相等的实数根，所以=-(2+4a)2-4a9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或由于a0，舍去a=1.将代入，得f(x)的
7、解析式为.a 15a 15().f xxx 2163555(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a及a0，可得f(x)的最大值为由a0，可得故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是()aaaa xaa221241，.aaa2410aaa241.aa 23230或()().2323 0，点评：二次函数是联系二次方程、二次不等式的枢纽，解题中常以二次方程为基础，以二次函数图象为工具，解决有关方程、不等式、函数等综合问题.已知函数f(x)=cx+1(0 xc)6x2-7x+3(cx1)，满足(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)2c.().f c298(1)因为0c1，所以c2c
8、.由即故(2)由(1)得f(x)=6x2-7x+3(x1).()f c298，c 3918，1.2c 11()22xx1 0 12由f(x)2c得，当时，得解得当时，得6x2-7x+31，解得综上可得：f(x)2c的解集为12x0 12x 1 1，12x0 ；12x1.x213 1()().2 2013，1.求二次函数在某区间内的最大值和最小值，是二次函数中的一个重点内容.其基本思路是先对二次函数的解析式配方化为顶点式，再考察其对称轴与给定区间的相对位置关系，然后结合图象写出最值.2.一般地，二次函数的最值在区间端点或顶点处产生，若区间变而对称轴不变，或区间不变而对称轴变，或区间和对称轴都变，则需分类讨论求解.对称轴在区间左侧、右侧、区间内，或对称轴在区间中心线左侧、右侧是分类的依据，具体选用应由抛物线的开口方向而定.3.数形结合是解决二次函数问题的重要思想方法，解题时，要充分发掘问题的几何意义，通过图象反映问题的本质，转化问题的条件或结论.
