1、河北省张家口市第一中学2021届高三数学上学期期中试题（衔接班，含解析）一单选题1. 设复数，且，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数，从而得到的共轭复数，即可得解；【详解】解：因为所以，故的虚部为，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题.2. 直线与平行,则（ ）A. B. 2C. 或 2D. 0 或 1【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的条件列方程，由此解出的值，排除两条直线重合的情况，由此得出正确选项.【详解】由于两条直线平行，所以，解得或，当时，两条直线方程都为
2、，即两条直线重合，不符合题意，故，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查两条直线平行求参数，考查两条直线重合，属于基础题.3. 某班级8位同学分成，三组参加暑假研学，且这三组分别由3人3人2人组成.若甲乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ）A. 140B. 160C. 80D. 100【答案】A【解析】【分析】分两种情况讨论即甲乙两位同学在组或组和甲乙两位同学在组；【详解】甲乙两位同学在组或组的情况有种，甲乙两位同学在组的情况有种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.4. 记等差数列的前n项和为，且，则（ ）A. 9B. 11C. 19D.
3、21【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据条件列出首项和公差的方程，求出通项公式，从而可得出答案.【详解】设等差数列的公差为，由，得解得所以，故.故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，考查数学运算的核心素养,属于基础题.5. 已知是实数，则“”是“的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用两个条件对应的集合的包含关系可判断两者之间的条件关系.【详解】等价于，解得或.记集合，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集
4、；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含6. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的性质对比图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】因为函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，故排除B；又当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故排除AD.故选：C.7. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得,再利用两个向量的数量积的定义求得结果.
5、【详解】解：故选C【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.8. 设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有.若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得在上单调递增，利用奇偶性的定义知是奇函数，进而求解不等式即可.【详解】由题意当时，构造函数，则，得在上单调递增，又由条件得.所以是奇函数，又在上单调递增且，所以在上单调递增，由，得，即，根据函数在上单调递增，可得，解得.故选：B【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题二多选题9. 若，则下列选项正确的是（ ）A. B
6、. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】先将，化为对数式，然后比较与大小，及与的大小可判断A，B的正误；再分别计算及，判断C，D的正误.【详解】由题设知，因为，所以，即A错误，B正确；因为，故C正确；又，故选：BCD.【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数式的大小比较及对数的运算，难度一般.10. 是边长为2的等边三角形,已知向量满足,则下列结论中正确的是( )A. 为单位向量B. 为单位向量C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据正三角形的性质与平面向量的线性运算与数量积分析即可.【详解】等边三角形的边长为2,故A正确；,故B错误；由于,与的夹角为120,故C错误；又,故D
7、正确.故选: AD.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算法则,属于基础题型.11. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】ABC【解析】分析】根据扇形统计图和条
8、状图，逐一判断选项，得出答案.【详解】选项A：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6和17，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；选项B：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56，其中从事技术岗位的人数占的比为39.6，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的.“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20，故选项B正确；选项C：“90后”从事运营岗位人数占总人数的比为，大于“80前”的总人数所占比3，
9、故选项C正确；选项D：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，“80后”的总人数所占比为41，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题.12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的图象关于点成中心对称C. 的图象关于直线对称D. 的单调递增区间是【答案】BCD【解析】【分析】化简得，根据三角函数的性质可逐项排除.【详解】，A. 的最小正周期为，错误；B. ，所以图象关于点成中心对称，正确；C. ，所以图象关于直线对称，正确；D. 的单调递增区间是，即
10、，正确故选：BCD.【点睛】本题考查正弦型三角函数化简、三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.三填空题13. 设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 .【答案】【解析】试题分析：由知当时，.，则.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题本题属于难题.14. 如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若
11、平面交棱于点，给出下列命题： 四棱锥的体积恒为定值；存在点，使得平面； 对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.其中真命题的是_（填写所有正确答案的序号）【答案】【解析】【分析】对将四棱锥分成两部分与分析即可对,根据线面垂直的判定,注意用到再利用线面垂直与线线垂直的判定即可.对,举出反例即可.对,四边形的周长,展开长方体分析最值即可.【详解】对,又三棱锥底面不变,且因为底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,正确.对,因为,且长方体,故四边形为正方形,故.要平面则只需,又,故只需面.又平面,故只需即可
12、.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故正确.对,当在时总有与平面相交,故错误.对,四边形的周长,分析即可.将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故正确.故答案为【点睛】本题考查立体几何中的垂直平行判定等,在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求,属于难题.15. 尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月
13、后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_.【答案】【解析】【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有只，类似的方法得到2个月后有只，3个月后有只，根据以上分析进行归纳推理即可得n个月后老鼠的只数.【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数,2个月后老鼠的只数,3个月后老鼠的只数，n个月后老鼠的只数.故答案为：.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.则该几何体共有_面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是_.
14、【答案】 (1). 14 (2). 【解析】【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是.故答案为：14，.【点睛】本题考查几何体面数的辨析，考查多面体表面积的计算，属于基础题.四解答题17. 在，的面积，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在中，角、所对的边分别为、，且角为锐角，
15、（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】选，利用余弦定理求解即可；选，利用正弦定理直接求解即可；选，利用正弦定理直接求解即可利用正弦定理，得到，然后，由（1）可求出，最后利用三角恒等变换，化简得：，再根据角的范围，即可求出的取值范围【详解】（1）选由，得由正弦定理，得.所以因为，所以.选，则，.，所以.选，则.，所以，又，所以.（2），化简得：.因为，所以，即.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理以及三角函数两角和公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于基础题18. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点1证明：；2若为上的动点，与平面所成最大角的正
16、切值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】要证明，我们可能证明面PAD，由已知易得，我们只要能证明即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明，由已知易我们不难得到结论；由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由的结论，我们进而可以证明平面平面ABCD，则过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值【详解】1证明：由四边形ABCD为菱形，可得为正三角形因为E为BC的中点，所以又，因此因为平面ABCD，平面ABCD，所以而平面PAD，平面PAD且，所以平面又平面PAD
17、，所以2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH由1知平面PAD，则为EH与平面PAD所成的角在中，所以当AH最短时，最大，即当时，最大此时，因此又，所以，所以因为平面ABCD，平面PAC，所以平面平面ABCD过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，在中，又F是PC的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为【点睛】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出为二面角的平面角，通过解所在的三角形求得其解题过程为：作证是二面角的平面角计算，简记为“作、证、算”19. 已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前
18、项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用可以判断数列是以为首项，为公比的等比数列，即可写出通项公式；（2）由裂项相消法可求出.【详解】（1），令，解得，两式相减，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以数列的通项公式为，（2）由（1）知，所以，即，.【点睛】本题考查和的关系，考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】；.【解析】【分析】将代入，求导后运用其几何意义求出切线方程分离参量得，令，求导后算出最值详解】时，函数，可得，所以，时，曲线则处的切线方程；即：；由条件
19、可得，则当时，恒成立，令，则，令，则当时，所以在上为减函数又，所以在上，；在上，所以在上为增函数；在上为减函数所以，所以【点睛】本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果21. 2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为21），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下22列联表，并回答能否有90%的把握认为“
20、对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计60（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.附：参考公式其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为.【解析】【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到的可能取值为0，1，2，3，且，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求
21、出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：满意不满意合计男生103040女生81220合计184260因为，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，则，所以随机变量的分布列为0123因此期望为：.【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.22. 在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）设直线与交于两点，为何值时？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，解出可得椭圆的标准方程（2）设，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得【详解】解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，可得椭圆的标准方程为：（2）设，联立，化为：，恒成立，解得满足当时，能使【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题