1、第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念(1)任意角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ.2弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位记作rad.(2)公式弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度弧长公式：l|r.扇形面积公式：S扇形lr|r2.说明：公式中
2、的必须为弧度制！3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，则siny，cosx，tan(x0).(2)三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦1任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin，cos，tan(x0)2象限角3轴线角4重要结论若，则tansin.1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析中是第三象限角，故错误；中，从而是第三象限角，正确
3、；中40036040，从而正确；中31536045，从而正确故选C2(多选)(2021武汉调研)关于角度，下列说法正确的是()A时钟经过两个小时，时针转过的角度是60B钝角大于锐角C三角形的内角必是第一或第二象限角D若是第二象限角，则是第一或第三象限角答案BD解析对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是60，故错误；对于B，钝角大于锐角，显然正确；对于C，若三角形的内角为90，是终边在y轴正半轴上的角，故错误；对于D，因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ，是第一或第三象限角，故正确故选BD.3下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck
4、360315(kZ)Dk(kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有选项C正确4若sincos0，则角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第二或第四象限角答案D解析因为sincos0)或顺时针(k0且a1)的图象过定点P，且角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sincos的值为()A B C D答案D解析因为函数yloga(x3)2的图象过定点P(4,2)，且角的终边过点P，所以x4，y2，r2，所以sin，cos，所以sincos.故选D.(2)若角的终边在直线3x4y0上，求sin，cos和tan的
5、值解设终边上任一点为P(4a,3a)，a0，当a0时，r5a，sin，cos，tan；当a0 Bcos20 Dsin20答案D解析当时，cos2cos0，A错误；当时，cos2cos0，B错误；由为第四象限角可得sin0，cos0，则sin22sincos0，C错误，D正确故选D.角度利用三角函数的定义求参数例5(1)(2021重庆市模拟)角终边上有一点P(m,2)，则“cos”是“m”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析角终边上有一点P(m,2)，cos0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当为第一或第
6、四象限角时，cos0，当2k(kZ)时，cos10，所以“为第一或第四象限角”是“cos0”的充分不必要条件故选A2. (2022江苏常州模拟)如图，两个互相啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿当大轮转动一周时，小轮转动的角度为()A B C D答案D解析因为大轮有64齿，小轮有24齿，所以当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2，故选D.3(2022辽宁大连月考)若角的终边在直线yx上，则角的取值集合为()ABCD答案D解析由图知，角的取值集合为.4(2022山东威海月考)已知点P在角的终边上，且0,2)，则的值为()A B C D答案C解析因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan
7、，又0,2)，所以.5已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 B2sin1 C Dsin2答案C解析2Rsin12，R，l|R.故选C6已知角的终边过点P(8m，6sin30)，且cos，则m的值为()A B C D答案B解析因为r，所以cos，所以m0，因此m.7(2021辽宁铁岭六校高三模拟)已知是第四象限角，则sin(sin)()A大于0 B大于等于0C小于0 D小于等于0答案C解析是第四象限角，sin(1,0)令sin，当10时，sin0.故sin(sin)0.故选C8(2021毕节市模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴按如下方法剪裁，扇面形状较为美观
8、从半径为R的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品(如图)的面积与圆面积的比值为()A BC D2答案D解析设扇形OAB的圆心角为，由题意可得，解得(3)，所以扇形OAB的面积为R2R2.则一个按题中方法制作的扇环形装饰品(如题图)的面积与圆面积的比值为2.故选D.二、多项选择题9(2021海南调研)已知为第三象限角，则的终边所在的象限可能是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案BD解析为第三象限角，2k2k，kZ，kk，
9、kZ，当k2m，mZ时，2m2m，mZ，此时在第二象限，当k2m1，mZ时，2m0)，则下列各式的值一定为负的是()Asincos BsincosCsincos D答案CD解析由已知得r|OP|，则sin0，cos0，tanm0，sincos0，cos0.故选CD.12(2021山东菏泽模拟)已知点P(sinxcosx，3)在第三象限，则x的区间可能是()A BC D答案BD解析由已知，点P(sinxcosx，3)在第三象限，可得sinxcosx0，即sinxcosx，所以2kx2k，kZ.当k0时，x所在的一个区间是；当k1时，x所在的一个区间是.三、填空题13已知角的终边在如图所示阴影表示
10、的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_.答案解析在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为.14. 如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A，则cossin_.答案解析由题意得cos221，cos2.又cos0，所以cos，又sin，所以cossin.15(2022广东肇庆质检)给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sinsin，则与的终边相同；若cos0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的序号是_.答案解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错误；正确；由
11、于sinsin，但与的终边不相同，故错误；当时，cos10，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错误综上可知，只有正确16点P从(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为_.答案解析设点A(1,0)，点P从(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则AOQ2(O为坐标原点)，所以xOQ，cos，sin，所以点Q的坐标为.四、解答题17. 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场已知AOB60，的长度为100 m怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？解如图所示，AOB60，的长度为100 m，OA300(m)根
12、据题意可知，当O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设O1与OA切于C点，连接O1O，O1C则O1OC30，OO1OAO1C300O1C，又O1COO1sin，故O1C(300O1C)，解得O1C100 m.这时O1的面积为100210000(m2)18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动(1)若点B的横坐标为，求tan的值；(2)若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式解(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan.(2)若AOB为等边三角形，则AOB，故与角终边相同的角的集合为.(3)若，则S扇形r2，而SAOB11sinsin，故弓形的面积SS扇形SAOBsin，.