1、第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示(第二课时)学习目标1.了解平面向量的基本定理.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:设平面直角坐标系中,x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j,为从原点出发的向量,点A的坐标为(2,3)(如图).则=二、学生探索,尝试解决问题1:三、信息交流,揭示规律问题2:如何建立向量的坐标体系?需要具备什么样的条件?1.平面向量的坐标表示2.平面向量的坐标运算3.向量平行的坐标表示四、运用规律,解决问题
2、【例1】已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a+4b的坐标.【例2】已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点.【例3】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB与直线CD平行吗?五、变式演练,深化提高练习1:已知三个力F1(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标.练习2:若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,求x.练习3:已知点P(2,-1),Q(3,2),求的坐标.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节
3、课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?1.2.3.布置作业课本P100练习第2,4题.课本P101习题2.3A组第1,3,4,5题.参考答案二、学生探索,尝试解决问题1:=2i,=3j.由平行四边形法则知=2i+3j.三、信息交流,揭示规律问题2:需要建立单位正交基底,取两个互相垂直的单位向量即可.1.平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i
4、=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).2.平面向量的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x,y).若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).3.向量平行的坐标表示ab(b0)的等价条件是x1y2-x2y1=0证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0.由a=b得,(x1,y1)=(x2,y2)消去,x1y2-x2y1=0.四、运用规律,解决问题【例1】解:原式=3(2,1)+4(-3,4)=(6-12,3+16)=(-6,19).【例2】解:当平行四边
5、形为ABCD时,由得D=(2,2);当平行四边形为ACDB时,得D=(4,6);当平行四边形为DACB时,得D=(-6,0).【例3】解:因为=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2),又因为22-41=0所以,又因为=(1-(-1),5-(-1)=(2,6),=(2,4),24-260,所以不平行,所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,从而ABCD.五、变式演练,深化提高练习1:解:由题设F1+F2+F3=0得:(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即:(-5,1)即为所求.练习2:解:a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,所以(-1)2-x(-x)=0,x=,因为a与b方向相同,所以x=.练习3:解:=(3,2)-(2,1)=(1,3),=(2,-1)-(3,2)=(-1,-3).六、反思小结,观点提炼1.理解平面向量的坐标的概念;2.掌握平面向量的坐标运算;3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.