1、第8节函数与方程考试要求1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210常用结论与易错提醒1.不满足零点存在性
2、定理也可能有零点(如不变号零点).2.由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示.所以f(a)f(b)0是图象连续的函数yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b
3、上有且只有一个零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错误.(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.下列函数中既是偶函数又存在零点的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析由函数是偶函数，排除选项B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，ycos x为偶函数且有零点.答案A3.(必修1P88例1改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2
4、D.3解析由f(x)ex30，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点.答案B4.(2019北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是()A.yx3x B.ylog2xC.y2x23 D.y解析对于A：yx3x为奇函数，且存在零点为x0，与题意相符；对于B：ylog2x为非奇非偶函数，与题意不符；对于C：y2x23为偶函数，与题意不符；对于D：y不存在零点，与题意不符，故选A.答案A5.函数f(x)ax12a在区间(1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.解析因为函数f(x)ax12a在区间(1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(1，1)
5、上存在一个零点，则满足f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得a1.答案6.已知f(x)则f(f(2)_；函数f(x)的零点的个数为_.解析根据题意得：f(2)(2)24，则f(f(2)f(4)24216214；令f(x)0，得到2x20(x0)，解得：x1，则函数f(x)的零点个数为1.答案141考点一函数零点所在区间的判断【例1】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内(2)(一题多解)设f(x)ln xx2，
6、则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).法二易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(
7、1，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 (1)函数f(x)2x的零点所在区间是()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)ln x的零点为x0，则x0所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)f(x)的图象在(0，)上连续，又f(x)在(0，)上递
8、减，且f(1)20，f20.选C.(2)f(x)ln x在(0，)上是增函数，又f(1)ln 1ln 120，f(2)ln 2ln 210.故f(x)的零点x0(2，3).答案(1)C(2)C考点二函数零点(或方程根)个数的判断【例2】 (1)已知函数f(x)则方程f(f(x)20的实根个数为()A.3 B.4 C.5 D.6(2)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为_.解析(1)令tf(x)，则方程f(f(x)20等价于f(t)2t0.在同一平面直角坐标系中作出函数yf(x)与直线y2x的图象，由图象可得有两个交点，且f(t)2t0的两根分别为t10和1t22.当t1f(x)0时
9、，解得x2；当t2f(x)(1，2)时，方程f(x)t2有3个不等实根.综上所述，方程f(f(x)20的实根个数为4，故选B.(2)令f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|.设g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点.答案(1)B(2)2规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0.若在区间(0，9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不
10、同的实数根，则k的取值范围是_.解析(1)由f(x4)f(x)知，函数的周期T4.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(4x)，因此函数yf(x)的图象关于x2对称.又f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的实根.由函数的图象(如图)，必须有即解得a0)恒过定点A(2，0)，由图可知，当x(2，3(6，7时，f(x)与g(x)的图象无交点，当x(0，1(4，5(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.由f(x)与g(x)的周期性可知，当x(0，1时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.当yk(x2)与圆弧(x1)2y21(00)k.当yk(x2)过点A(2，
11、0)与B(1，1)时，k.k0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.解析(1)由题意可知，此问题等价于函数g(x)axb与函数h(x)x2的图象在1，1上有两个不同的交点，且b2ag(2)0，1，求g(1)ab的取值范围.画出临界位置的图象如图所示，当x1时，要使满足题意，直线l1，l2须经过线段AB，而当l1过点B时，直线与曲线没有交点，当l2过点B时，直线与曲线只有1个交点，均不合题意，故舍去y0的情况，所以g(1)ab1，0)，故选A.(2)在同一坐标系中，作出yf(x)与yb的图象.当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有
12、三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)A(2)(3，)基础巩固题组一、选择题1.函数f(x)3xx2的零点所在区间是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，1) D.(1，0)解析由于f(1)0，f(1)f(0)1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D3.函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)解析因为函数f(x)2xa在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)f(
13、2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a3.答案C4.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B. C. D.解析令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.答案C5.(一题多解)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A. B. C. D.1解析法一f(x)(x1)2a(ex1e1x)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(
14、t)，且t(，).函数g(t)为偶函数.f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.法二f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”.x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”.若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一.故选C.答案C6.(2019浙江三校三联)已知关于x的方程ex|xt|10有三个不同的实数根，则实数t的取值范围是()A.1，) B.(1，)C.2，) D.(2，)解析关于x的方程ex|xt|10有三个不同的实数
15、根等价于函数f(x)|xt|与函数g(x)的图象有三个不同的交点，在平面直角坐标系内画出两函数的图象如图所示，由图易得当xt时，直线yxt与函数g(x)的图象有一个交点，要使两函数图象有三个不同的交点，则直线ytx与函数g(x)的图象有两个不同的交点，当直线ytx与曲线g(x)相切时，易得t1，则由图易得要使两函数图象有三个不同的交点，则t1，故选B. 答案B7.(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)解析函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即
16、函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点.作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.答案C8.(2019浙江卷)设a，bR，函数f(x)若函数yf(x)axb恰有3个零点，则()A.a1，b0 B.a0C.a1，b1，b0解析由题意，bf(x)ax设yb，g(x)即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.当a0，可得g(x)在(，0)上递增；由g(x)x2(a1)xxx(a1)(x0)，a11，即a10时，因为g(x)xx(a1)(x0)，所以当x0时，由g(x)0可得0x0，即1a1时，由图象可得，若要yg(x)与yb的图象有3个交点，必有b0
17、；当1a0时，yg(x)与yb的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去；当1a1时，yg(x)与yb的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去.综上，1a1，b0且2aa2.在同一坐标系下作出函数y2x与yx2的图象，由图可知，实数a的取值范围为2，4.函数g(x)f(x)b有三个零点等价于函数yf(x)与yb的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数yf(x)与yb的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g(x)有三个零点，实数a的取值范围为(，0). 答案2，4(，0)12.已知f(
18、x)m|x|，若f(x)有两个零点，则实数m的值为_；若f(x)有三个零点，则实数m的取值范围是_.解析函数f(x)的零点，即为方程m|x|0即|x|(x2)(x2)的实数根，令g(x)|x|(x2)其图象如图所示，当m1时，g(x)图象与y有2个交点；当01时，有3个交点.答案1(1，)13.(2019北京大兴区期末)设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若函数yf(x)b有两个零点，则b的取值范围是_.解析(1)当a0时，f(x)当x0时，f(x)2x，f(x)在(，0上为增函数，当x0时，x0，则f(x)f(x)2x，则f(x)在(0，)上为减函数，则f(x)maxf
19、(0)201.(2)根据题意，当xa时，f(x)2xa，当xa时，则有2axa，此时f(x)f(2ax)2ax，f(x)，其图象关于直线xa对称，若函数yf(x)b有两个零点，即函数yf(x)与yb有2个交点，其图象如图所示：必有0b1，即b的取值范围为(0，1).答案(1)1(2)(0，1)14.(2020杭州高级中学测试)已知函数f(x)满足：f(1x)f(1x)，且当x1时，f(x)x2a(aR)，若存在实数t0，1，使得关于x的方程|f(x)|t有且仅有四个不等实根，则实数a的取值范围是_.解析由f(1x)f(1x)知函数f(x)关于直线x1对称.当a1时，|f(x)|f(x)f(0)
20、a1，函数y|f(x)|的图象与直线yt无公共点，不满足条件；当a1时，函数y|f(x)|的图象与直线yt最多只有两个公共点，不满足条件；当0a1时，如图1所示，函数y|f(x)|的图象与直线yt可能有四个公共点，满足条件；当1a0时，如图2所示，存在t0，使函数y|f(x)|的图象与直线yt有且仅有四个公共点，满足条件；当a1时，如图3所示，存在实数t0，1，使函数y|f(x)|的图象与直线yt有且仅有四个公共点，满足条件.综上可知，实数a的取值范围是(，1).答案(，1)能力提升题组15.设函数f(x)则函数F(x)xf(x)1的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.7解析作出函数yf
21、(x)与yg(x)的图象如图，当xg(3)，两函数的图象在(2，4)内有两个交点；f(5)f(3)，g(5)，满足f(5)g(5)，两函数的图象在(4，6)内有两个交点；f(7)f(5)，g(7)，满足f(7)g(7)，两函数的图象在(6，8)内没有交点；f(9)f(7)，g(9)，满足f(9)7时，恒有f(x)g(x)，两函数的图象没有交点.综上所述，两函数的图象的交点个数为6个，即函数F(x)xf(x)1的零点个数为6个.答案C16.(2020浙江“超级全能生”联考)已知f(x)若f(x)2|f(x)2|2ax40恰有两个不等实根x1，x2，则a的取值组成的集合为()A.222，0B.22
22、0，2C.220，2D.222，0解析由题意得f(x)2|f(x)2|max2f(x)，42ax4，即maxf(x)，2ax2.令g(x)maxf(x)，2h(x)ax2，f(x)2|f(x)2|2ax40恰有两个不等实根，等价于函数g(x)与h(x)的图象有两个不同的交点.作出函数g(x)和h(x)的图象如图，由图可知h或0h(1)2，解得a22或a2，0，故选A.答案A17.已知函数f(x)(e为自然对数的底数)，则f(e)_，函数yf(f(x)1的零点个数为_.解析f(e)ln e1；函数yf(f(x)1的零点个数为方程f(f(x)1的根的个数，则由ln x1(x1)，得xe，于是f(x
23、)e，则由ln xe(x1)，得xee；或由ef(|x|1)e(x1)，得f(|x|1)1，所以ln(|x|1)1，解得xe1(舍去)或x1e；由ef(|x|1)1(x0时，由对勾函数的性质易得y2，当且仅当x时等号成立，要使f(x)4有4个零点，则有24，解得0m4；当m0时，f(x)|x|4，易知此时函数f(x)|x|4有2个零点，不符合题意；当m0时，函数y0，当且仅当x时，等号成立，所以此时函数f(x)4有4个零点，综上所述实数m的取值范围为(，0)(0，4).答案2(，0)(0，4)19.(2020浙江十校联盟适考)已知f(x)(aR)，若存在x1，x2，x3，xn，使得f(x1)f(x2)f(xn1)f(xn)成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为_.解析设tx，由x得t，则问题等价于对于函数g(t)|ta|，存在t1，t2，t3，tn，使得g(t1)g(t2)g(tn1)g(tn)成立的最大正整数n为6，即5g(t)ming(t)max6g(t)min.当a时，g(t)min0，则对所有正整数都存在相应的t1，t2，t3，tn使得等式成立，此时的a不符合题意；当a2时，g(t)maxga，g(t)ming(2)2a，则有5(2a)a6(2a)，解得a；当a时，g(t)maxg(2)a2，g(t)minga，则有5a26，解得a.综上所述，实数a的取值范围为答案
