1、第3讲导数与函数的极值、最值1导数与函数的极值(1)函数的极小值与极小值点若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0时，函数单调递增；当x0时，函数单调递减，且y|x00，符合结合该函数图象可知函数在(0，)上单调递增，在(，0上单调递减，符合y2x在R上单调递增，无极值点故选B.2设函数f(x)xex，则()A1为f(x)的极大值点B1为f(x)的极小值点C1为f(x)的极大值点D1为f(x)的极小值点答案D解析f(x)exxex(1x)ex.令f(x)0，则x1.当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以1为f(x
2、)的极小值点3函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1 Ce D0答案B解析因为f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，则函数yf(x)在区间(2,2)上单调递增，故C正确；对于D，当x3时，f(x)0，故D不正确5若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，则m_.答案4解析f(x)x24，x0,3，当x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m，所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.6已知函数f(x)cosxaln x在x处取得极值，则a_.答案解析f(x)
3、sinx，且f0，0，即a，经验证，符合题意多角度探究突破考向一导数与函数的极值角度知图判断函数极值情况例1(2021南昌摸底考试)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值故选D. 由图象
4、判断函数yf(x)的极值要抓住的两点(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性两者结合可得极值点1.(多选)(2021石家庄检测)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则()A3是函数yf(x)的极值点B1是函数yf(x)的极小值点Cyf(x)在区间(3,1)上单调递增D2是函数yf(x)的极大值点答案AC解析由函数yf(x)的图象可知，f(3)0，当x(，3)时，f(x)1，f(x)0，f(x)在区间(1，)上单调递减，故A错误；当x0，f(x)在区间(，1)上单调递
5、增，故B错误；当x1时，f(x)取得极大值，无极小值，故C正确，D错误故选C(2)(2021凉山州模拟)若x0是函数f(x)ex的极值点，则x0满足()Aln x00 Bx0ln x00Cx0ln x00 Dln x00答案C解析依题意，f(x)ex，且f(x0)ex00，xex0ln x0，两边同时取自然对数，得x02ln x0ln (ln x0)，即x0ln x0ln x0ln (ln x0)，设g(x)xln x，则g(x0)g(ln x0)，又g(x)10，故函数g(x)在(0，)上单调递增，x0ln x0，即x0ln x00.故选C 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数
6、f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧导数值的符号；(5)求出极值2.若函数f(x)(1x)(x2axb)的图象关于点(2,0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2x1_.答案2解析因为函数f(x)(1x)(x2axb)的图象关于点(2,0)对称，且f(1)0，所以f(5)0，f(2)0，所以x2，x5是方程x2axb0的两个根由根与系数的关系可得，a7，b10，所以f(x)(1x)(x27x10)，所以f(x)(x27x10)(1x)(2x7)3(x24x1)又因为x1
7、，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，所以x1，x2是x24x10的两个根，且x1x2.解方程可得，x12，x22，所以x2x12.角度已知函数的极值求参数的值或取值范围例3(1)(2021河北九校联考)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.答案7解析由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)(2021桂林、崇左第二次联考)若函数f(x)e2xmexx2有两个极值点，则实数m的取值范围是_.答案(1，)解析依题意，f(x)e2xmexmx有两个变号零点，令f(x)0，即e2xm
8、exmx0，则e2xm(exx)，显然m0，则，设g(x)，则g(x)，设h(x)1ex2x，则h(x)ex20，g(x)0，g(x)单调递增，当x(0，)时，h(x)0，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)maxg(0)1，且x时，g(x)，x时，g(x)0，01.即实数m的取值范围是(1，) 已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性3.(2021开封三模)设函数f(x)，若f(x)的极小值为，则a()A B C D2答案
9、B解析f(x)，令f(x)0得，x1a，x1a时，f(x)1a时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)在x1a处取得极小值，f(1a)e1a，1a，解得a.4(2021昆明模拟)已知函数f(x)x3mx2mx9在R上无极值，则实数m的取值范围为()A(，0)(1，)B(，0)1，)C(0,1)D0,1答案D解析若函数f(x)在R上无极值，则f(x)x22mxm在R上无变号零点，故4m24m0，解得0m1.故选D.考向二导数与函数的最值例4已知函数g(x)aln xx2(a2)x(aR)(1)若a1，求g(x)在区间1，e上的最大值；(2)求g(x)在区间1，e上的最小值h(a)解(1)a1，g
10、(x)ln xx23x，g(x)2x3，x1，e，g(x)0，g(x)在1，e上单调递增，g(x)maxg(e)e23e1.(2)g(x)的定义域为(0，)，g(x)2x(a2).当1，即a2时，g(x)在1，e上单调递增，h(a)g(1)a1；当1e，即2a0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少解(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)；水底作业时的用氧量为100.99(升)；返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，总用氧量y9(v0)(2)y，令y0，得v10.当0v10时，y10时，
11、y0，函数单调递增当0c10时，函数在c,10)上单调递减，在(10，15上单调递增，当v10时，总用氧量最少；当c10时，函数在c,15上单调递增，此时vc时，总用氧量最少综上可知，当0c0，求f(x)在区间(，m上的最小值解(1)f(x)，f(x)，f(x)的单调递增区间是0,1，ax2(2ab)xbc0的根是0和1，故故abc，又f(x)的极大值是，故f(1)，故abc1，故f(x)，f(x)，故f(1)e，f(1)2e，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y2exe.(2)由(1)，知f(x)在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且f(0)1，
12、当x(，0时，f(x)minf(0)1，若存在非零实数x0，使得f(x0)1，则x00，由函数单调性易知，x01，当0m1时，f(x)在(，0上单调递减，在(0，m上单调递增，故f(x)在区间(，m上的最小值是f(0)1.当1mf(x0)1，故f(x)在区间(，m上的最小值是f(0)1.当mx0时，f(x)在(，0上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，m上单调递减，f(0)1，f(m)f(x0)1，故f(x)minf(m).综上，当0mx0时，f(x)在区间(，m上的最小值为1；当mx0时，f(x)在区间(，m上的最小值为. (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小
13、(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值7.(2021北京海淀区一模)已知函数f(x)xsinx.(1)判断函数f(x)在区间上的单调性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在内有且只有一个极值点；(3)求函数g(x)在区间(1，上的最小值解(1)因为f(x)xsinx，所以f(x)sinxxcosx，因为0x0，所以函数f(x)在区间上为增函数(2)证明：设h(x)f(x)，则h(x)cosxcosxxsi
14、nx2cosxxsinx，当x时，h(x)0，h() 0，f()0，所以当x(1，时，f(x)11，又因为当x(1，时，00，解得0x2e，令f(x)2e，故f(x)在(0,2e)上单调递增，在(2e，)上单调递减，x2e时，f(x)取得极大值2ln 2，则f(x)的极大值点为2e.2(2021青海西宁大通县三模)函数f(x)在2，)上的最小值为()A Be2 C D2e答案A解析f(x)，令f(x)0，解得x3，令f(x)0，解得2x0，且23，23，则3a2b，c18a，f(x)的极小值为f(3)27a9b3c1798，解得a2，b3，c36.故选C4(2021镇江月考)设函数f(x)ln
15、 xax2x，若1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为()Aln 22 Bln 21Cln 32 Dln 31答案A解析f(x)ln xax2x(x0)，f(x)2ax，1是函数f(x)的极大值点，f(1)12a2a0，解得a，f(x)，当0x0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)单调递增当x2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)ln 22.5(2021新乡三模)某冷饮店的日销售额y(单位：元)与当天的最高气温x(单位：，20x40)的关系式为yx2x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为()A907元 B910元C915元 D920元答案C解析f
16、(x)x2x3(20x40)，f(x)xx，令f(x)0，解得x38.当20x0，此时函数f(x)单调递增；当38x40时，f(x)3”是“函数f(x)(xa)ex在(0，)上有极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由题意，函数f(x)(xa)ex，则f(x)(xa1)ex，令f(x)0，可得xa1，当xa1时，f(x)a1时，f(x)0，所以函数f(x)在xa1处取得极小值，若函数f(x)在(0，)上有极值，则a10，解得a1.因此“a3”是“函数f(x)(xa)ex在(0，)上有极值”的充分不必要条件故选A7(2021山西二模)已知函数f(x
17、)aln x1(aR)，若f(x)的最小值为0，则a的值为()A1 B1 C0 D2答案A解析f(x)aln x1的定义域为(0，)，f(x)，当a0时，f(x)0时，x时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，此时f(x)minfaln aa10，a1.故选A8(2021四川省大数据精准联盟第三次监测)函数f(x)2x2(x0)，g(x)x.若f(x1)g(x2)，则x22x1的最小值为()A21 B4C42 D41答案C解析由题意可知，x100，所以2x12x2，则x22x12x22，令u(x)2x2(x0且x1，u(x)0)，当0x1时，知u(x)1时，可知u(x)0，u
18、(x)，令u(x)0，则x1，x2(舍去)，若1x，则u(x)，则u(x)0，则x时取得极小值u()42，也为最小值，所以u(x)u()，即x22x142，所以x22x1的最小值为42.故选C二、多项选择题9(2021潮州二模)已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()Af(a)f(b)f(c)Bf(e)f(d)f(c)Cxc时，f(x)取得最大值Dxd时，f(x)取得最小值答案AB解析结合导函数的图象，可知f(x)在(，c上单调递增，在(c，e)上单调递减，在e，)上单调递增对于A，因为abc，由f(x)的单调性可知f(a)f(b)f(c)，故A正确；对于B，
19、因为cdf(d)f(e)，故B正确；对于C，当xc时，f(x)取得极大值，但不一定是最大值，故C错误；对于D，由B可知，f(d)不是f(x)的最小值，故D错误故选AB.10(2021济南外国语学校11月月考)已知函数f(x)exex，g(x)exex，则以下结论错误的是()A对任意的x1，x2R且x1x2，都有0B对任意的x1，x2R且x1x2，都有0可知f(x)为增函数)，选项A是函数单调递减的等价定义，故A错误；在R上单调的函数无最值，故C错误；g(x)exex，当x0时，g(x)0，当x0时，g(x)0，则f(x)在0，)上单调递增显然f(0)0，令f(x)0，得sinx，分别作出ysi
20、nx，y的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间2，2)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间2，2)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点故选BD.三、填空题13已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)_.答案18解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.14设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_.答案(，1)解析由yexa0得xln (a)(a0，a
21、1，即a1.15函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是_.答案(1,2解析f(x)33x23(x1)(x1)，令f(x)0，得x11，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值2极大值2又由3xx32，得(x1)2(x2)0.x31，x42.f(x)在开区间(a212，a)上有最小值，最小值一定是极小值解得10)，则(x)12e2x0，则(x)在(0，)上单调递减，(x)0，当x时，h(x)0，h(x)在上单调递增，在上单调递减，h(x)maxh2ln 22e.四、解答题17(2021山
22、东师大附中模拟)已知函数f(x)(xa)ex(aR)(1)当a2时，求函数f(x)在x0处的切线方程；(2)求f(x)在区间1,2上的最小值解f(x)(x1a)ex.(1)当a2时，f(x)(x1)ex.f(0)2，f(0)1，所求切线方程为y2x，即xy20.(2)令f(x)0，得xa1.若a11，则a2.当x1,2时，f(x)0，则f(x)在1,2上单调递增f(x)minf(1)(1a)e；若a12，则a3.当x1,2时，f(x)0，则f(x)在1,2上单调递减f(x)minf(2)(2a)e2；若1a12，则2a3.f(x)，f(x)随x的变化情况如表： x1(1，a1)a1(a1,2)
23、2f(x)0f(x)极小值f(x)的单调递减区间为1，a1)，单调递增区间为(a1,2，f(x)minf(a1)ea1.综上可知，当a2时，f(x)min(1a)e；当a3时，f(x)min(2a)e2；当2a0，当x(2,3)时，g(x)0，所以g(x)ming(1)b1，解得b，所以g(2)ln 2.于是函数g(x)在区间1,3上的最大值为g(2)ln 2.19(2021烟台一模)已知函数f(x)x2cosx，f(x)为f(x)的导函数(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数g(x)exa，aR，讨论g(x)的单调性解(1)f(x)xsinx，因为(xsinx)1cosx0，所以f(x)在
24、(，)单调递增，又f(0)0，所以当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增，故当x0时，f(x)取得极小值f(0)1，无极大值(2)g(x)(exa)，由(1)知，f(x)f(0)，即cosx10，当a0时，exa0，g(x)0，g(x)在(，)单调递增；当a0时，令exa0，得xln a，于是，当x(，ln a)时，exa0，g(x)0，g(x)单调递增综上，当a0时，g(x)在(，)单调递增；当a0时，g(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增20(2021湖南省邵阳市第三次联考)给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x
25、)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的拐点已知f(x)axsinxcosx.(1)求证：函数yf(x)的拐点M(x0，f(x0)在直线yax上；(2)x(0,2)时，讨论f(x)的极值点的个数解(1)证明：f(x)axsinxcosx，f(x)acosxsinx，f(x)sinxcosx，f(x0)0，sinx0cosx00.而f(x0)ax0sinx0cosx0ax0.点M(x0，f(x0)在直线yax上(2)令f(x)0，得a2sin，作出函数y2sin，x(0,2)与函数ya的草图如下：由图可知，当a2或a2时，f(x)无极值点；当a时，f(x)有一个极值点；当2a或a2时，f(x)有两个极值点