1、第1讲导数的概念及运算1导数的概念(1)平均变化率：对于函数yf(x)，把比值叫做函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率(2)瞬时变化率：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(3)当x变化时，yf(x)就是x的函数，称它为yf(x)的导函数(简称导数)，即yf(x).2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k0f(
2、x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).3基本初等函数的导数公式(1)c0(c为常数)(2)(x)x1(Q，且0)(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(ax)axln_a(a0，且a1)(6)(ex)ex.(7)(logax)(a0，且a1)(8)(ln x).4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x).(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).特别地：cf(x)cf(x)(c为常数)(3)(g(x)0).5复合函数的导数一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导
3、数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1(1).(2)(f(x)0)2可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数3函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其绝对值的大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”4两类切线问题的区别(1)“过”与“在”：曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲
4、线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点1下列求导运算正确的是()A(sina)cosa(a为常数)B(log2x)C(3x)3xlog3eD()答案B解析由a为常数知(sina)0，A错误；(3x)3xln 3，C错误；(log2x)，B正确；()，D错误故选B.2某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)104.9t28t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()A9.1米/秒 B6.75米/秒C3.1米/秒 D2.75米/秒答案C解析因为h(t)9.8t8，所以h(0.5)9.80.583.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速
5、度为3.1米/秒3如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 _.答案2解析由导数的概念和几何意义知， f(1)kAB2.4(2021武汉检测)设f(x)ln (32x)cos2x，则f(0)_.答案解析因为f(x)2sin2x，所以f(0).5(2021全国甲卷)曲线y在点(1，3)处的切线方程为_.答案5xy20解析因为y，所以曲线y在点(1，3)处的切线的斜率k5，故所求切线方程为y35(x1)，即5xy20.6曲线ysinxex在x0处的切线过点(m,0)，则m_.答案解析因为y(sinxex)cosxex，所以y|x0co
6、s0e02，所以曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程为y12(x0)，即2xy10，此直线过点.故m.考向一导数的概念及基本运算例1(1)(多选)(2021济南检测)下列求导运算正确的是()AB(x2ex)2xexC(xcosx)sinxD.1答案AD解析对于A，正确；对于B，(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2ex(2xx2)ex，错误；对于C，(xcosx)cosxxsinx，错误；对于D，11，正确故选AD.(2)(2021贵阳模拟)已知f(x)的导函数为f(x)，f(x)2f(1)x，则f(1)_.答案解析f(x)2f(1)x，f(x)2f(1)，f(1)2f(1)
7、，解得f(1).(3)求下列函数的导数：ytanx；yx；y；yxsincos.解y.因为yx31，所以y3x2.y(2x1)33(2x1)426(2x1)4.因为yxsincosxsin(4x)xsin4x，所以ysin4xx4cos4xsin4x2xcos4x. 导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求
8、导1.(2021江西九江统考)f(x)x(2020ln x)，若f(x0)2021，则x0()Ae2 B1 Cln 2 De答案B解析f(x)2020ln xx2021ln x，故由f(x0)2021，得2021ln x02021，则ln x00，解得x01.故选B.2求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sinx；(3)yx；(4)y.解(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(3)因为yx，所以y().(4)y.多角度探究突破考向二导数的几
9、何意义角度导数与函数图象例2(1)已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)答案C解析因为f(3)，f(3)f(2)，f(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0f(3)f(3)f(2)0，由yx，得切线斜率kx02，x03.故选A(2)(2021贵阳模拟)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，且函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线与直线xy0垂直，则切点P(x0，f(x0)的
10、坐标为_.答案(0,0)解析f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21,3x11，x00，f(x0)0，切点P(x0，f(x0)的坐标为(0,0) 求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标5.若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标为_.答案(e，e)解析设点P(x0，y0)，yxln x，yln xx1ln x曲线yx
11、ln x在点P处的切线斜率k1ln x0.又k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.点P的坐标为(e，e)角度求切线的方程例4(1)(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x1答案B解析f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)1，f(1)2，所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.故选B.(2)已知g(x)，曲线g(x)在点(4,2)处的切线方程为_.答案x4y40解析因为g(x)，所以g(x)，所以g(4)，所以曲线g(x)在点(4,2)处的切线方程为y2(x4)，即x4y40.(3)已知
12、函数f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程解曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上，设切点为M(x0，y0)，则y0x3x0，因为f(x0)3(x1)，故切线方程为yy03(x1)(xx0)，将A(0,16)代入切线方程化简得x8，解得x02.所以切点为M(2，2)，f(2)9，所以切线方程为9xy160. 求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点(2)求过点P(x0，y0)的曲线的
13、切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步，写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程6.(2019全国卷)曲线y2sinxcosx在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10答案C解析设yf(x)2sinxcosx，则f(x)2cosxsinx，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C7(2020全国卷)曲线yln x
14、x1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.答案y2x解析设切线的切点坐标为(x0，y0)，因为yln xx1，所以y1，由y|xx012，得x01，y02，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为y22(x1)，即y2x.角度求参数的值或取值范围例5(1)(2021山东部分重点中学联考)设点P是曲线yx3x上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角的取值范围为()A BC D答案C解析因为y3x2，故切线的斜率k，所以切线的倾斜角的取值范围为.故选C(2)(2021宝鸡模拟)若直线ykx2与曲线y13ln x相切，则k()A3 B C2 D答案A解析令yf(x)13ln x，f(x)，设切
15、点为(m,13ln m)，则切线的斜率为kf(m)，即曲线在点(m,13ln m)处的切线方程为y(13ln m)(xm)，即yx3ln m2，直线ykx2与曲线y13ln x相切，3ln m22，m1，又k，k3.故选A(3)(2021山西运城一模)函数f(x)ax|logax|1(a0，且a1)有两个零点，则a的取值范围为()A(1，) B(1，)Cee(1，) D(1，)答案B解析由f(x)ax|logax|10，得|logax|，即|x|x，由题意，函数y|x|与yx的图象有两个交点当a1时，两函数的图象有两个交点；当0a1)的图象有3个交点，则a的取值范围是()A(1，) B(1，e
16、2)C(，) D(1，)答案C解析如图，当x1时，f(x)的图象与g(x)的图象必有1个交点，因为g(x)，所以g(1)，即曲线yg(x)在(1,0)处的切线的斜率为，当x1时，f(x)的图象与g(x)的图象必须要有2个交点，则要求2，解得a.综上，a的取值范围为(，)故选C角度两曲线的公切线问题例6(2021郑州名校联考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知得f(x)3ax26x6a
17、，因为f(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，f(x)6x26x12.由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以y9是yf(x)与yg(x)的公切线由f(x)12得6x26x1
18、212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以y12x9不是yf(x)与yg(x)的公切线综上所述，存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线，此时k0. 解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解(2)设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2).10.若直线l与曲线yex及yx2都相切，则直线l的方程为_.答案yx1解析设直线l与曲线yex的切点为(x0，ex0)，
19、直线l与曲线yx2的切点为，因为yex在点(x0，ex0)处的切线的斜率为ex0，y在点处的切线的斜率为y|xx1|xx1，则直线l的方程可表示为yex0xx0ex0ex0或yx，所以所以ex01x0，解得x00，所以直线l的方程为yx1.一、单项选择题1函数yf(x)的图象如图，则导函数f(x)的大致图象为()答案B解析由导数的几何意义可知，f(x)为常数，且f(x)0，开口向上，故导函数图象开口向上，与x轴有2个交点，对称轴是直线xa0，图符合，由f(0)a210且a0得a1，故f(1)11.故选A7(2021石家庄市一检)原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚
20、变过程中产生的碎片形成，这些不稳定的元素在放出，等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”这种不稳定的元素就称为放射性同位素随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)N0，其中N0为t0时钍234的含量已知t24时，钍234含量的瞬时变化率为8ln 2，则N(120)()A12贝克 B12ln 2贝克C6贝克 D6ln 2贝克答案A解析因为N(t)N0，所以N(t)N0ln 2ln 2，因为当t24时，钍234含量的瞬时变化率为8ln
21、 2，即N(24)8ln 2，所以ln 2218ln 2，所以N0384，即N(t)384，所以N(120)38412.故选A8(2021成都模拟)已知ln x1x1y120，x22y242ln 20，则 的最小值为()A B C D答案B解析的最小值可转化为函数yln xx2图象上的点与直线x2y42ln 20上的点的距离的最小值，由yln xx2，可得y1，与直线x2y42ln 20平行的直线的斜率为，令1，得x2，所以切点的坐标为(2，ln 2)，切点到直线x2y42ln 20的距离d.故选B.二、多项选择题9若函数f(x)的导函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()
22、Af(x)3cosx Bf(x)x3xCf(x)x Df(x)exx答案BC解析对于A，f(x)3cosx，其导数f(x)3sinx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)x3x，其导数f(x)3x21，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)x，其导数f(x)1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)exx，其导数f(x)ex1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意10(2021辽宁本溪满族自治县高级中学期末)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性
23、质下列函数中具有T性质的是()Aycosx Byln xCyex Dyx2答案AD解析由题意yf(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1.对于A，因为f(x)sinx，存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；对于B，因为f(x)0，不存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；对于C，因为f(x)ex0，不存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；对于D，因为f(x)2x，存在x11，x2，使得f(x1)f(x2)4x1x21.故选AD.11已知函数f(x)及其导函数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”下列函数中有“巧值点
24、”的是()Af(x)x2 Bf(x)exCf(x)ln x Df(x)tanx答案AC解析若f(x)x2，则f(x)2x，令x22x，得x0或x2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)ex，则f(x)ex，令exex，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)ln x，则f(x)，令ln x，在同一直角坐标系内作出函数yln x与y的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)f(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)tanx，则f(x)，令tanx，化简得sinxcosx1，变形可得sin2x2，无解，故D不符合要求故选AC12(2021厦门质检)已知函数f(x)ln x，若
25、f(x)在xx1和xx2(x1x2)处的切线平行，则()A Bx1x2128Cx1x2512答案AD解析由题意知f(x)(x0)，因为f(x)在xx1和xx2(x1x2)处的切线平行，所以f(x1)f(x2)，即，化简得，故A正确；由基本不等式及x1x2可得，2，即x1x2256，故B错误；x1x2232，故C错误；xx2x1x2512，故D正确故选AD.三、填空题13(2020全国卷)设函数f(x).若f(1)，则a_.答案1解析f(x)，则f(1)，整理可得a22a10，解得a1.14(2021湖南益阳模拟)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)_，f(1)f(1)_.答案ex2e解
26、析函数f(x)为奇函数，当x0，则x0.f(x)ex，x0，f(1)e1，f(1)e1，f(1)f(1)e1e12e.15(2021聊城二模)请你举出与函数f(x)e2x1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：_.答案yx22x(或ysin2x或y2ex2)解析函数f(x)e2x1的导数为f(x)2e2x，可得在(0,0)处的切线的斜率为2，切线的方程为y2x，可取yx22x，其导数为y2x2，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；ysin2x，其导数为y2cos2x，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y2ex2，其导数为y2ex，满足在(0,0)处的切线的斜率为2.16已知曲线f(x)x3a
27、x在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切，则a的值为_.答案解析f(x)3x2a，f(0)a，又f(0)，f(x)在x0处的切线方程为ya(x0)，即yax，故yax与g(x)ln x相切，设切点坐标为(x0，y0)，又g(x)，解得四、解答题17(2020新高考卷改编)已知函数f(x)exln x1.求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积解因为f(x)ex，所以f(1)e1，f(1)e1，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2，直线y(e1)x2在x轴、y轴上的截距分别为，2，因此所求三角形的面积为.18已
28、知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求切点P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.19已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.