1、1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量 词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.知识点一 全称量词与全称命题思考 观察下列命题：每一个三角形都有内切圆；所有实数都有算术平方根；对一切有理数 x,5x2 还是有理数.以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.答案 命题分别使用量词“每一个”“所有”“一切”.命题是真命题，命题是假命题.三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题为假命
2、题.梳理(1)全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”符号全称命题 p含有全称量词的命题形式“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“xM，p(x)”，要判断它为真，需要对集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判断它为假，只需在 M 中找到一个 x，使 p(x)不成立，即“xM，p(x)不成立”.知识点二 存在量词与存在性命题思考 观察下列命题：有些矩形是正方形；存在实数 x，使 x5；至少有一个实数 x，使 x22x20，则 a，b 的夹角为锐角；(2)x，y 为正实
3、数，使 x2y20；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P；(4)xN，x20.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断解(1)ab|a|b|cos a，b0，cos a，b0.又 0a，b，0a，b0”是假命题.反思与感悟 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合 M 中的一个 xx0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).跟踪训练 2 有下列四个命题：xR,2x23x40；x1，1,0,2x10；xN，x2x；x
4、N*，x 为 29 的约数，其中真命题的个数为_.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断答案 3解析 中，2x23x42x342238 0，故正确；中，当 x1 时，2x10，故不正确；中，当 x0 或 1 时，x2x，故正确；中，29N*,29 为 29 的约数，故正确.真命题的个数为 3.类型三 全称命题、存在性命题的应用例 3 x1,2，使 4x2x12a0 恒成立，求实数 a 的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题求参数范围解 已知不等式化为 22x22x2a0，令 t2x，x1,2，t12，4，
5、则不等式化为 t22t2at22t2，原命题等价于t12，4，at22t2 恒成立，令 yt22t2(t1)21，当 t12，4 时，ymax10.只需 a10 即可.即所求实数 a 的取值范围是(10，).引申探究本例改为：x1,2，使 4x2x12a0 成立，求实数 a 的取值范围.解 已知不等式化为 22x22x2a0，令 t2x，x1,2，t12，4，则不等式化为 t22t2at22t2，原命题等价于t12，4，使 at22t2 成立.令 yt22t2(t1)21，当 t12，4 时，ymin1.只需 a1 即可.a 的取值范围为(1，).反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称
6、命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练 3(1)已知关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集非空，求实数 a 的取值范围；(2)令 p(x)：ax22x10，若对xR，p(x)是真命题，求实数 a 的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题求参数范围解(1)关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集非空，(2a1)24(a22)0，即 4a70，解得 a74，实数 a 的取值范围为74，.(2)对xR，p(x)是真命题，对xR，ax22x10 恒成立，当 a0 时，不等式为 2x10 不恒成立，当 a0 时，若不等式恒成立，则a0
7、，44a1，即 a 的取值范围为(1，).1.下列命题是“xR，x23”的表述方法的有_.有一个 xR，使得 x23；对有些 xR，使得 x23；任选一个 xR，使得 x23；至少有一个 xR，使得 x23.考点 存在量词与存在性命题题点 识别存在性命题答案 2.下列命题中全称命题的个数是_.任意一个自然数都是正整数；有的等差数列也是等比数列；三角形的内角和是 180.考点 全称量词及全称命题题点 识别全称命题答案 2解析 是全称命题.3.下列存在性命题是假命题的是_.存在 xQ，使得 2xx30；存在 xR，使得 x2x10；有的素数是偶数；有的有理数没有倒数.考点 存在量词与存在性命题题点
8、 存在性命题真假的判断答案 解析 对于任意的 xR，x2x1x122340 恒成立，因此，使 x2x10 的实数不存在，所以为假命题.4.对任意的 x3，xa 都成立，则 a 的取值范围为_.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案(，3解析 只有当 a3 时，对任意的 x3，xa 都成立.5.用量词符号“”“”表述下列命题：(1)凸 n 边形的外角和等于 2.(2)有一个有理数 x 满足 x23.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 识别全称命题和存在性命题解(1)xx|x 是凸 n 边形，x 的外角和是 2.(2)xQ，x23.1.判断命题是全称命题还是存在性命题
9、，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题.一、填空题1.下列命题中，是全称命题且是真命题的是_.(填序号)对任意的 a，bR，都有 a2b22a2b20；菱形的两条对角线相等；xR，x2x；对数函数在定义域上是单调函数.考点 全称量词及全称命题题点 全称命题真假的判断答案 解析 中的命
10、题是全称命题，但 a2b22a2b2(a1)2(b1)20，故是假命题；中的命题是全称命题，但是假命题；中的命题是全称命题，但 x2|x|，故是假命题；很明显中的命题是全称命题且是真命题.2.下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是_.(填序号)存在一个角，使得 tan(90)tan；存在实数 x，使得 sin x2；对一切，sin(180)sin；sin()sin cos cos sin.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题真假的判断答案 解析 当 45时，tan(9045)tan 45，为真命题，且为存在性命题；中对xR，有 sin x10；xR,2x0.考点 全称量词及全称命题、存
11、在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断答案 解析 对于，当 x1 时，lg x0，正确；对于，当 x4时，tan x1，正确；对于，当 x0 时，x30，错误；对于，xR,2x0，正确.4.已知命题：“xx|1x1，使等式 x2xm0 成立”是真命题，则实数 m 的取值范围为_.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题求参数的范围答案 14，2解析 已知命题：“xx|1x0，得 m14，2.5.若命题“x1,2，使 x22xa0”为真命题，则实数 a 的取值范围为_.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题求参数的范围答案 8，)解析 令 f(x)x22xa，x1,2.f(x
12、)在1,2上为增函数，f(x)maxf(2)8a，由题意知，8a0，得 a8.6.若“x0，4，tan xm”是真命题，则实数 m 的最小值为_.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案 1解析“x0，4，tan xm”是真命题，当 x0，4 时，tan x1，所以 m1.故实数 m 的最小值为 1.7.设xR，函数 ylg(mx24mxm3)有意义，则实数 m 的取值范围为_.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案 0,1)解析 由题意，得 mx24mxm30 对任意 xR 都成立，当 m0 时，显然成立；当m0，4m24mm30，即 0m1 时，不等式也成立；当
13、m0 对于任意 xR 恒成立？并说明理由；(2)若存在实数 x，使不等式 mf(x)0 成立，求实数 m 的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围解(1)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x)，即 mx22x5(x1)24.要使 m(x1)24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可.故存在实数 m，使不等式 mf(x)0 对于任意 xR 恒成立，此时 m4.(2)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x).若存在实数 x，使不等式 mf(x)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)(x1)24，所以 f(x)min4，故 m4.
14、故所求实数 m 的取值范围是(4，).三、探究与拓展14.已知命题 p：f(x)1t3x对x(，0有意义；命题 q：数列an中，ann，且对nN*，均有 1a1a2 1a2a31an1an1anan1log21t1t恒成立.若命题 p 与 q 有且仅有一个正确，试求实数 t 的取值范围.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围解(1)对于命题 p，由 f(x)1t3x在 x(，0上有意义，知 1t3x0，x(，0恒成立，即 t 13x，x(，0恒成立，解得 t1，所以，若命题 p 成立，则 t1.(2)对于命题 q，因为 ann，所以 1a1a2 1a2a31anan1112 1213
15、 1n 1n11 1n11，所以 log21t1t1，解得13t1.因为命题 p 与 q 有且仅有一个正确，所以，若命题 p 成立，q 不成立，则t1，t13或t1，所以 t1 或 t1，13t1，解得 t.综上可知，t 的取值范围是tt1或t13.15.是否存在 k 和等差数列an，使 ka2n1S2nSn1，其中 S2n，Sn1 分别是等差数列an的前 2n 项，前 n1 项的和.若存在，试求出常数 k 和数列an的通项；若不存在，请说明理由.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题求参数的范围解 假设存在.设 anpnq(p，q 为常数)，则 ka2n1kp2n22kpqnkq21，Sn12pn(n1)qn.S2nSn132pn2qp2 n(pq)，则 kp2n22kpqnkq2132pn2qp2 n(pq).故有kp232p，2kpqqp2，kq21pq，由，得 p0 或 kp32.当 p0 时，由，得 q0，而 pq0 不适合，故 p0.把 kp32代入，得 qp4；把 qp4代入，由 kp32，得 p3227.从而 q 827，k8164.故存在常数 k8164及等差数列 an3227n 827，满足题意.