1、第5节根式、指数、对数考试要求1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.知 识 梳 理1.根式与指数幂的运算(1)根式概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|(2)分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2.对数与对数的运
2、算(1)对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质loga10；logaa1；alogaNN；logaabb(a0，且a1).(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR).(4)换底公式logbN(a，b均大于零且不等于1).常用结论与易错提醒已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：(1)logamMnlogaM(m，nR，且m0)；(2)logab，推广logablogbclogcdlogad
3、.诊 断 自 测1.(必修1P52例5改编)化简(2)6(1)0的结果为()A.9 B.7 C.10 D.9解析原式(26)1817.答案B2.若loga2logb20，则()A.0ab1 B.0bab1 D.ba1解析loga2logb200lg blg a0，故0ba0，b0)；(2)(0.002)10(2)1()0.解(1)原式a1b12ab1.(2)原式150010(2)11010201.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)
4、运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】 化简求值：(1)22(0.01)0.5；(2).解(1)原式111.(2)原式ab.考点二对数的运算【例2】 (1)设2a5bm，且2，则m等于()A. B.10 C.20 D.100(2)计算：100_.解析(1)由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.(2)原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.答案(1)A(2)20规律方法(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简
5、合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练2】 (1)(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A.2x3y5z B.5z2x3yC.3y5z2x D.3y2x(由ln 32ln 23可得)，又x，y为正数，2x3y.xln 2zln 5，则(由ln 52ln 25可得)，又x，z为正数，2x5z，3y2x5z，故选D.(2)由ab1，得0logab1，又因为logablogbalogab，解得log
6、ab，所以ab，即b2a，所以1.答案(1)D(2)1基础巩固题组一、选择题1.化简(x0，y0)得()A.2x2y B.2xy C.4x2y D.2x2y解析x0，y0，b0，则下列等式不正确的是()A.alg bblg a1 B.alg bblg a2alg bC.alg bblg a(alg b)2 D.alg bblg ablg a2解析由于a0，b0，故当ab时，有alg bblg a(alg b)2，alg bblg aalg balg b2alg b，alg bblg a(blg a)2b2lg ablg a2，故选A.答案A8.(2019北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用
7、星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1 D.1010.1解析设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.由题意知m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg，所以lg10.1，所以1010.1.故选A.答案A9.已知m0且m1，则logmn0是(1m)(1n)0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析m0且m1
8、，由logmn0得或(1m)(1n)0，反过来，当(1m)(1n)0时，不妨取m，n1，此时logmn无意义，故选A.答案A二、填空题10.若log2xlog43，则x_.解析由等式可得log2xlog23，解得x.答案11.(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_.解析(lg 2)2lg 2lg 50lg 25lg 2(lg 2lg 50)lg 252(lg 2lg 5)2.答案212.若xlog43，则(2x2x)2_.解析xlog43，4x3，4x，(2x2x)24x24x32.答案13.已知aa3，则aa1_，a2a2_.解析aa3，两边平方得aa129，aa17，对上式两边平方得
9、a22a249，a2a247.答案74714.(2019嘉兴测试)计算：2lg 2lg 25_，方程log2(x1)3的解为x_.解析2lg 2lg 25lg 4lg 25lg 1002，方程log2(x1)3，x1238，解得x7.答案27能力提升题组15.(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab0 B.abab0C.ab0ab D.ab0ab解析由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32，所以log0.30.2log0.32log0.30.4，所以01，得00，b0，所以ab0，所以abab0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则xy的最大值是_.解析由题意得lg 2xlg 8ylg(2x23y)lg 2x3ylg 2(x0，y0)，所以x3y1，则xyx3y，当且仅当x3y时，等号成立，所以xy的最大值为.答案20.(2019浙江名校新高考研究联盟三联)已知方程loga(5x3x)x(其中a0，a1)，若x2是方程的解，则a_；当a2时，方程的解x_.解析若x2是方程的解，则loga(5232)loga422，所以a4；当a2时，log2(5x3x)x，即5x3x2x，通过对比可知该方程的解为x1.答案41