1、第 讲 3函数的值域第二章 函数 考点搜索值域的概念和常见函数的值域函数的最值求函数的值域的常用方法求最值的方法的综合应用高高考猜想高考对值域的考查主要渗透在求变量的取值范围中，常与反函数、方程、不等式、最值问题以及应用问题结合；在基本方法中，配方、换元、不等式、数形结合涉及较多，常表现为解题过程的中间环节.考生应重视通过建立函数求值域解决变量的取值范围的问题.一、基本函数的值域1.一次函数y=kx+b(k0)的值域为.2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值域：当a0时，值域为;当a0时，值域为.R)acba 244，(acba244，3.反比例函数y=kx(x0，k0)的值域为.4.指
2、数函数y=ax(a0，a1)的值域为.5.对数函数y=logax(a0，a1，x0)的值域为.6.正、余弦函数的值域为，正、余切函数的值域为.y|y0，yRR+R-1，1R二、求函数值域的基本方法1.配方法常用于可化为二次函数的问题.2.逆求法常用于已知定义域求值域(如分式型且分子、分母为一次函数的函数).3.判别式法可转化为关于一个变量的一元二次方程，利用方程有实数解的必要条件，建立关于y的不等式后求出范围.运用判别式方法时注意对y的端点取值是否达到进行验算.4.不等式法几个变量的和或积的形式.5.导数法利用导数工具，结合函数的单调性，讨论其值域.1.设函数f(x)=1-x2(x1)x2+x
3、-2(x1),则的值为()f(x)=1-x2(x1)x2+x-2(x1)故选A.1(2)ff.?.?.1527AB16168CD 189f(2)=4()fff11152416，2.函数的值域为()A.(-，1)B.C.D.故选C.xy 21113()1 13，1)?3 1，1)3 ，xx2211110111313，C3.函数y=f(x)的值域是-,10，则函数y=f(x-10)+的值域是()A.-,10B.0,+10C.-10,0D.-10,因为y=f(x)所以函数y=f(x-10)+的值域是0,+10，故选B.向右平移10个单位长度向上平移个单位长度B题型一：用配方法与换元法求函数的值域1.
4、求下列函数的值域：(1)(2)(3);yxx265;yxx4 1.yxx21(1)(配方法)设=-x2-6x-5(0)，则原函数可化为又因为=-x2-6x-5=-(x+3)2+44，所以04，故0,2，所以的值域为0,2.yyxx265(2)(代数换元法)设则x=1-t2，所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t0)，所以y5，所以原函数的值域为(-,5.tx10，(3)(三角换元法)因为1-x20，所以-1x1，故可设x=cos,0,，则y=cos+sin=sin(+).因为0,，所以所以所以所以原函数的值域为2,54444(),2sin142，(),2sin124，,.1
5、2点评：配方法求函数的值域时，一是注意找到相应的二次式，二是注意自变量的取值范围；运用换元法求函数的值域时，注意新变元的取值范围.设函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为A，值域为B，则AB=.由3-2x-x20，得-3x1，所以A=(-3，1).因为03-2x-x2=4-(x+1)24，所以f(x)2，所以B=(-，2，故AB=(-3，1).题型二：用逆求法与判别式法求函数的值域2.求下列函数的值域:(1)(2);xyx125.xyx234(1)解法1：(逆求法)由解出x，得因为2y+10，所以函数的值域为y|y-12，且yR.解法2：(分离常数法)因为又所以y-12.即函数的值
6、域为xyx125.yxy152112yx 7225，x72025，1|.2y yy R，且(2)(判别式法)由得yx2-3x+4y=0，当y=0时，x=0，当y0时，由0得因为函数的定义域为R，所以函数的值域为xx23y4，.y3344xx23y4，.3 34 4，点评：逆求法又称为反函数法，如形如f(x)=ax+bcx+d的函数，可以用逆求法来求解.对于定义域为R的函数式，若能变形为关于自变量x的二次方程形式，利用此方程有解，得到关于y的判别式的关系式，由此得出值域；若定义域不为R，此时还需根据根的范围来确定值域.函数的值域为.由，得因为x0，所以解得所以函数的值域为()xyxx3021.y
7、xy3210yy3211.2y 31(.23，xyx321题型三：利用函数的单调性求函数的值域3.(原创)已知函数(1)若函数的定义域是-2，-1，求函数的值域；(2)若函数的定义域是，求函数的值域.().f xxx2212 2，由得(1)当x-2，-1时，得所以f(x)在区间-2，-1是减函数，所以当x=-2时，f(x)max=f(-2)=3，当x=-1时，f(x)min=f(-1)=-1，所以函数的值域是-1，3.(),f xxx22()().xfxxxx3222212()()xfxx32210，(2)由可得x=1.所以当时，f(x)0，所以f(x)在区间上是减函数，同理可得f(x)在区间
8、(1，2)上是增函数.由知，当定义域为函数的值域为3，5.()()xfxx32210，1()2x1，1()2 1，12fff1713254，12 2，点评：利用函数的单调性求函数的值域，其策略是：首先判断函数的单调性或函数的单调区间，然后根据单调性求函数的最值，再得出函数的值域.函数的值域是.函数的定义域为因为函数在上为单调递增函数，所以当时，故原函数的值域为yxx12yxx121|.2x x yxx121(2，12x 12ymax，1(.2，若存在x2，5，使等式成立，求a的取值范围.由题设，当x2，5时，成立.令即x=t2+1，t1，2，则所以当t1，2时，a-3，-1.参考题xax1axx1xt1，1()().2attt 223141.要求熟记各种基本函数的值域.2.求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的作用.3.已知函数的定义域或值域，求参数的范围，是一种逆向思维.解决这类问题要求对定义域、值域的概念及函数单调性有较深刻的理解，可以变换角度后构造新的函数，把求参数的范围转化为求新的函数的值域问题.
