1、计算-公式类计算-平方差公式-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率多元一次方程（组）B1.了解什么是多元一次方程（组）2.会解多元一次方程组少考知识提要多元一次方程（组） 概念如果方程组中含有 3 个或 3 个以上未知数，并且未知数的次数都是 1，那么这样的方程组叫做多元一次方程组。 基本解法消元精选例题多元一次方程（组） 1. 甲、乙、丙、丁四人参加了一次考试甲、乙的成绩和比丙、丁的成绩和高 17 分甲比乙低 4 分，丙比丁高 5 分四人中最高分比最低分高 分【答案】13【分析】根据题意可得(甲+乙)-(丙丁)=17,甲=乙-4,丙=丁+5,则整理可得乙-丁=(17+4+5)2=13
2、. 2. 有 5 个自然数（允许有相等的），从其中任意选取 4 个数求和，可以而且只能得到 44，45，46，47，那么，原来的 5 个自然数分别是 【答案】13，12，11，11，10【分析】设这 5 个自然数分别为 a、b、c、d、e，设 m=a+b+c+d+e，从其中任意选取 4 个数求和分别为 m-a、m-b、m-c、m-d、m-e当这 5 个数各不相同时，应该有 5 个不同的和，而题目当中只能得到 4 个不同的和，说明这 5 个数中有两个是相等的假设 abcd（e 为重复的数），则 m-a=44m-b=45m-c=46m-d=47m-e=x（其中 x 的可能取值为 44、45、46、
3、47）将 5 个式子相加，可得5m-(a+b+c+d+e)=44+45+46+47+x即4m=182+x解之得，x=46,m=57所以 a=13，b=12，c=e=11，d=10 3. 解方程组 $leftbegingathered 2x + y + z = 7 hfill x + 2y + z = 8 hfill x + y + 2z = 9 hfill endgathered right.$【答案】$left begingathered x = 1 hfill y =dfrac13 hfill z = 3 hfill endgathered right.$【分析】 left beginga
4、thered 2x + y + z = 7 cdots hfill x + 2y + z = 8 cdots hfill x + y + 2z = 9 cdots hfill endgathered right. - 整理得：y-x=1,将 扩大 2 倍与 相减，整理得3y+x=7, - ，得：(y-x)+(3y+x)=8,整理得4y=8,y=2代入方程组可得原方程组的解为： left begingathered x = 1 hfill y = 2 hfill z = 3 hfill endgathered right. 4. 解方程组 3x-4z=72x+3y-z=95x-9y-7z=8.（
5、x,y,z 为正整数）【答案】x=5y=7z=2【分析】观察 x,y,z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中 y 的系数是 3 倍关系，所以将第二个式子扩大 3 倍与第三个式子相减得到：3(2x+3y-z)+(5x-9y-7z)=39+8,去括号整理得11x-10z=35,与第一个式子整理得3x-4z=711x-10z=35,若想消掉 z，因为 4,10=20，所以第一个方程应该扩大 5 倍，第二个式子应该扩大 2 倍，又因为 z 的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：2(11x-10z)-5(3x-4z)=235-57,去括号整理得 7x=35，x=5，所以方程解为 x=5y=7
6、z=2. 5. 五个整数任选四个，求出它们的平均值，然后再求这个数和余下一个数的和，这样可以得到 5 个数 734、10、1034、1214、1514，则原来五个整数分别为？【答案】1、4、5、7、11【分析】$left begingathereddfraca + b +c + d4 + e = 7dfrac34 hfill dfraca + b +c + e4 + d = 10 hfill dfraca + b +d + e4 + c = 10dfrac34 hfill dfraca + c +d + e4 + b = 12dfrac14 hfill dfracb + c +d + e4 +
7、 a = 15dfrac14 hfill endgathered right.$ 解得：$leftbegingathereda = 11 hfillb = 7 hfillc = 5 hfilld = 4 hfille = 1 hfillendgathered right.$ 6. 解方程组 $left begingathered 3x - 4z = 7 hfill 2x + 3y - z = 9 hfill 5x - 9y - 7z = 8 hfill endgathered right.$【答案】$left begingathered x = 5 hfill y = dfrac13 hfil
8、l z = 2 hfill endgathered right.$【分析】观察 x,y,z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中的 y 的系数是 3 倍关系，所以将第二个式子扩大 3 倍与第三个式子相加得到：3(2x+3y-z)+(5x-9y-7z)=39+8,去括号整理得11x-10z=35,与第一个式子整理得： left begingathered 3x - 4z = 7hfill 11x - 10z =35 hfill endgathered right. 把 z 的系数统一，可化为： left begingathered 15x - 20z =35 hfill 22x - 20z =7
9、0 hfill endgathered right. 两式相减得：7x=35，x=5，代入计算 y,z，可得原方程组的解为： left begingathered x = 5 hfill y =dfrac13 hfill z = 2 hfill endgathered right. 7. 有甲、乙、丙、丁 4 个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29，23，21 和17，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少？【答案】18 岁【分析】设甲、乙、丙、丁 4 个人的年龄分别为 a、b、c、d，那么有：$leftbegingathereddfraca + b + c3 + d =
10、 29 hfill dfracb + c + d3 + a = 23 hfill dfraca + c + d3 + b = 21 hfill dfraca + b + d3 + c = 17 hfill endgathered right.$把四个式子加起来得到：a+b+c+d=45（1）再将上面方程组里面的每个式子 3 后与（1）式相减分别得到：a=12，b=9，c=3，d=21，所以年龄最大与最小的差值为 21-3=18 岁答：这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是 18 岁 8. 解方程组 $leftbegingathered x - y + z = 1 hfill y - z + u
11、= 2 hfill z - u + v = 5 hfill u - v + x = 2 hfill v - x + y = 7 hfill endgathered right.$【答案】$left begingathered x = 0 hfill y = 6 hfill z = 7 hfill u = 3 hfill v = 1 hfill endgathered right.$【分析】将五个式子相加得x+y+z+u+v=17,将第一与第二式子相加得：x+u=3,将第二与第三式子相加得：y+v=7,同理连续相加得到： left begingathered x + u = 3 hfill y
12、+ v = 7 hfill z + x = 7 hfill u + y = 9 hfill v + z = 8 hfill endgathered right., 整理后解得： left begingathered x = 0 hfill y = 6 hfill z = 7 hfill u = 3 hfill v = 1 hfill endgathered right. 9. 求出下面不定方程组的正整数解：$left begingatheredx + y + z =100 qquad & hfill5x + 3y +dfrac13z = 100 qquad & hfill endgathere
13、d right.$【答案】$leftbegingatheredx = 4 hfilly = 18 hfillz = 78 hfillendgathered right.$ 或 $leftbegingatheredx = 8 hfilly = 11 hfillz = 81 hfillendgathered right.$ 或 $leftbegingatheredx = 12 hfilly = 4 hfillz = 84 hfillendgathered right.$【分析】不定方程组，先消去一个元将二式扩大三倍与一式相减：$leftbegingatheredx + y + z &=100 hf
14、ill 15x + 9y + z &=300 hfill endgathered right. Rightarrow 14x + 8y = 200 Rightarrow 7x + 4y = 100$可以用余数性质得到，该方程有三组整数解，$leftbegingatheredx = 4 hfilly = 18 hfillendgathered right.$ 或 $leftbegingatheredx = 8 hfilly = 11 hfillendgathered right.$ 或 $leftbegingatheredx = 12 hfilly = 4 hfillendgathered ri
15、ght.$带入原方程组得到三组整数解：$leftbegingatheredx = 4 hfilly = 18 hfillz = 78 hfillendgathered right.$ 或 $leftbegingatheredx = 8 hfilly = 11 hfillz = 81 hfillendgathered right.$ 或 $leftbegingatheredx = 12 hfilly = 4 hfillz = 84 hfillendgathered right.$10. 公鸡 1 只值钱 5 元，母鸡一只值钱 3 元，小鸡三只值钱 1 元，今有钱 100 元，买鸡 100 只，问
16、公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【答案】4、18、78 或 8、11、81 或 12、4、84【分析】设买公鸡、母鸡、小鸡各 x、y、z 只，根据题意，可得方程组x+y+z=1005x+3y+13z=100由 3-，得 14x+8y=200，即：y=200-14x8=25-74x.因为 x、y 为正整数，所以不难得出 x 应为 4 的倍数，故 x 只能为 4、8、12，从而相应 y 的值分别为 18、11、4，相应 z 的值分别为 78、81、84所以，方程组的特殊解为x=4y=18z=78,x=8y=11z=81,x=12y=4z=84.所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买 4 只、18 只、78 只或
17、8 只、11 只、81 只或 12 只、4 只、84 只11. 解方程组（1）$leftbegingathereddfracx +32 + dfracy + 53 = 7 hfill dfracx -43 + dfrac2y - 35 = 2 hfill endgathered right.$（2）$leftbegingathered2x + y + z = 7hfill x + 2y + z = 8 hfill x + y + 2z = 9hfill endgathered right.(x,y,z为正整数)$【答案】（1）$leftbegingatheredx =dfrac52 hfill
18、 y =dfrac314 hfill endgathered right.$；（2）$leftbegingatheredx = 1 hfilly = 2 hfillz = 3 hfillendgathered right.$【分析】（1）化简方程组得：$leftbegingathered3x + 2y =23; hfill 5x + 6y =59; hfill endgathered right.$3- 得：4x=10，x=52 将 式代入 得：y=314，所以方程的解为：$leftbegingatheredx =dfrac52 hfill y =dfrac314 hfill endgathe
19、red right.$（2）将一式与二式相减得 (x+2y+z)-(2x+y+z)=8-7 去括号整理后得 y-x=1；将二式扩大 2 倍与三式相减得 2(x+2y+z)-(x+y+2z)=28-9, 去括号整理得 3y+x=7；最后将两式相加计算结果如下：(y-x)+(3y+x)=1+7，整理得 4y=8,y=4, 所以方程的解为：$leftbegingatheredx = 1 hfilly = 2 hfillz = 3 hfillendgathered right.$12. 解方程组 x-y+z=1y-z+u=2z-u+v=5u-v+x=2v-x+y=7.（x,y,z,u,v 为正整数）【
20、答案】x=0y=6z=7u=3v=1【分析】将 5 个式子相加得 x+y+z+u+v=17，将 1 式与 2 式相加得 x+u=3，将 2 式与 3 式相加得 y+v=7，同理连续相加得到x+u=3y+v=7z+x=7u+y=9v+z=8,整理后解为x=0y=6z=7u=3v=1.13. 解下列三元一次方程组：$left begingathered x + y = 10 hfill y + z = 12 hfill z + x = 8 hfill endgathered right.$【答案】$left begingathered x = 3 hfill y = 7 hfill z = 5 h
21、fill endgathered right.$【分析】解： left begingathered x + y = 10 cdots hfill y + z = 12 cdots hfill z + x = 8 cdots hfill endgathered right. - 得：z-x=2 与 组成二元一次方程组 begincases z - x = 2 hfill z + x = 8 hfill endcases 可以解得： left begingathered z = 5 hfill x = 3 hfill endgathered right. 把 x=3 代入 x+y=10，可得：y=
22、7所以原方程组的解为 left begingathered x = 3 hfill y = 7 hfill z = 5 hfill endgathered right. 14. 解方程组 $leftbegingatheredx - y + z = 1hfill y - z + u = 2hfill z - u + v = 5hfill u - v + x = 2hfill v - x + y = 7 hfill endgathered right.(x,y,z,u,v为正整数)$【答案】$leftbegingatheredx = 0 hfilly = 6 hfillz = 7 hfillu =
23、 3 hfillv = 1 hfillendgathered right.$【分析】将 5 个式子相加得 x+y+z+u+v=17, 将 1 式与 2 式相加得 x+u=3, 将 2 式与 3 式相加得 y+v=7, 同理连续相加得到$leftbegingatheredx + u = 3hfill y + v = 7hfill z + x = 7hfill u + y = 9hfill v + z = 8hfill endgathered right.$，整理后得$leftbegingatheredx = 0 hfilly = 6 hfillz = 7 hfillu = 3 hfillv = 1 hfillendgathered right.$
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