1、数论-因数和倍数-倍数-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率倍数C1、理解倍数的定义2、能够准确写出一个数的较小的倍数。少考知识提要倍数 定义对于整数 a 和 b，如果 ab，我们就称 b 是 a 的倍数。精选例题倍数 1. 有 n 个自然数相加：1+2+n=aaa，那么 a= 【答案】36【分析】1+2+3+n=(1+n)n2=111a，(1+n)n=2337a，a 取 19n 和 n+1 中有一个是 37 的倍数，如果 n=37k，则 37k2+k=6a54，所以 k=1，此时 a 不是整数只有 n+1=37k，则 37k2-k=6a，同样地k只能能取 1，此时 a=6所以 n=3
2、6 2. 橘子、苹果、梨共有六箱，这六箱水果的重量分别为 15、16、18、19、20、31 千克，其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱这箱橘子重 千克【答案】20【分析】因题目中提到“苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱”，这表明除去橘子后，剩下的水果重量恰好等于苹果重量的 3 倍，也就是说重量是 3 的倍数而事实上，在 15、16、18、19、20、31 这六个数中，只有除去 20 后剩下的五个数之和恰好是 3 的倍数，所以这箱橘子重 20 千克 3. 已知 x，y 是大于 0 的自然数，且 x+y=150，若 x 是 3 的倍数，y 是 5 的倍数，则 (x,y) 的不同取值有 对【答案
3、】9【分析】由题意得，x，y 为 3 和 5 的公倍数才符合要求，公倍数有 15、30、45、60、75、90、105、120、135，则共有 9 对不同取值 4. 2011年3月11日，日本发生里氏 9 级大地震在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生 5 级地震已知里氏地震级数每升 2 级，地震释放能量扩大到原来的 1000 倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的 倍【答案】1000000【分析】10001000=1000000 5. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数=除数商+余数其中，0余数3）的末两位是 00，因而是 1
4、00 的倍数即 (4+n)(n-3)2 是 100 的倍数，所以 (4+n)(n-3) 是 200 的倍数又因为 4+n、n-3 两数互质，因而两个数中必有一个数是 8 的倍数，也必有一个数是 25 的倍数于是有四种情形：8(4+n)25(n-3)，8(n-3)25(4+n)，8(4+n)25(4+n)，8(n-3)25(n-3)每种情形对应的最小 n 的值分别是 28、171、196、203所以所求的最小值是 2813. 从 1999 中选出连续 6 个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有 4 个 0，一共有 种选法【答案】17【分析】连续的 6 个自然数中，必有 3 个偶数，这 3 个偶数是
5、3 个连续偶数，其中至少有 1 个是 4 的倍数，那么这 3 个偶数的积肯定是 24 的倍数，所以任意的连续 6 个自然数的积都是 24 的倍数另外，连续的 6 个自然数中，至少有一个 5 的倍数，至多有两个 5 的倍数：如果其中只有 1 个 5 的倍数，由于末尾要有 4 个 0，那么这个 5 的倍数应是 54 的倍数，即是 625 的倍数，又小于 1000，只能是 625，那么这 6 个数可以是 621626，622627，623628，624629，共 4 种；如果其中有 2 个 5 的倍数，那么只能是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数都是 5 的倍数由于这两个 5 的倍数不可能同时是
6、 25 的倍数，所以其中必有一个是 53=125 的倍数，可能为 125，250，375，500，625，750，875对于其中除 625 外的 6 个数，每个数都可以是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数，所以对这 6 个数，每个数都有 2 种取法，共有 26=12 种取法；而对于 625 来说，与另一个 5 的倍数相乘，将会是 55 的倍数，要想使末尾恰有 4 个 0，则这连续 6 个自然数的乘积要是 24 的倍数但又不是 25 的倍数检验 620625 和 625630 这两组的连续 6 个自然数，后者满足题意，前者则不合题意所以有 2 个 5 的倍数的情况下共有 12+1=13 种选
7、法根据加法原理，共有 4+13=17 种选法小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉 625630 这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是 2 比 5 多的情况，所以对于 2 比 5 少的可能性根本不予考虑14. 一只小蜜蜂发现了一处蜜源，它立刻回巢招来 10 个同伴，可还是采不完于是，每只蜜蜂回去分头各找来 10 只蜜蜂，大家再接着干，还是剩下很多蜜没有采于是，蜜蜂们又回去叫同伴，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴，但仍然采不完蜜蜂们再回去，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴这一次，终于把这一片蜜源采完了你来算一算采这块蜜源的蜜蜂一共有 只【答案】14641【分析】每只小蜜蜂每次都叫来 10 只
8、蜜蜂，所以每次新叫来的蜜蜂是原来蜜蜂数目的 10 倍，即每叫一次，蜜蜂数目变为原来的 11 倍，共叫了 4 次现在的蜜蜂共有 111111111=14641（只）15. 非零数字 a，b，c 能组成 6 个没有重复数字的三位数，且这 6 个数的和是 5994，则这 6 个数中的任意一个数都 被 9 整除（填”能”或“不能”）【答案】不能【分析】a，b，c 组成的所有三位数都是由 a，b，c 三个数字组成，且 a，b，c 在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为：(a+b+c)21+(a+b+c)210+(a+b+c)2100=5994,a+b+c=27,a=b=c=9,与题意矛盾，故不能16
9、. 小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是 【答案】8000【分析】200 分解质因数得 200=2352，所以小于 200 且与 200 互质的数不能有质因数 2 或者 5而 200 以内 2 的倍数有 2、4、6、198，和为2+4+198=9900;200 以内 5 的倍数有 5、10、15、195，和为5+10+195=3900;既是 2 的倍数又是 5 的倍数有 10、12、190，和为10+20+190=1900;所以所求数和为1+2+3+199-9900-3900+1900=8000.17. abc 是三位数，若 a 是奇数，且 abc 是 3 的倍数，则最小是 【答
10、案】102【分析】a 为奇数，且要求最小，则 a=1，b=0又要求为 3 的倍数，则 a+b+c 为 3 的倍数，所以 b=0，c=218. 一个四位数 2abc 扩大 3 倍后，变成了 abc8，这个四位数是 【答案】2856【分析】根据题意，c3 的个位数字是 8，知道 c=6，b3 的个位数字是 6-1=5，所以 b=5，a3 的个位数字是 5-1=4，所以 a=8，因此这个四位数是 285619. 在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是 【答案】32340【分析】是 20 的倍数也是 14 的倍数，则这些数是 14,20=140 的倍数最小的
11、是 0，最大的是 2940，有 (2940-0)140+1=22 个所以这些数的和是(0+2940)222=32340.20. （1）11000 中有 个 3 的倍数（2）1100 中有 个是 2 的倍数也是 3 的倍数的数【答案】（1）333；（2）67【分析】（1）高斯记号作为“记号”的应用实例，10003=333；（2）2 的倍数的个数：1002=50; 3 的倍数的个数：1003=33; 6 的倍数的个数：1006=16;所以50+33-16=67.21. 某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1,2,30；他们手中的电影票恰好为某排的 1 号，2 号，30 号现在按如下要
12、求将电影票发给这些同学：对 于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除那么电影票共有 种不同的发放方式【答案】48【分析】1 号学生有 29 人是其倍数，故 1 号学生只能拿 1 号电影票；2 号学生有 14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有 6 人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；7 号学生有 3 人是其倍数，故
13、7 号学生只能拿 7 号电影票；8 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，8 号学生只能拿 8 号电影票；9 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，还不能是 6，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学生只能拿 9 号电影票；10 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，10 号学生只能拿 10 号电影票；12 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，12 号学生只能拿 12 号电影票；同时 24 号学生只能拿
14、 24 号电影票；14 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 7 号学生（7）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，14 号学生只能拿 14 号电影票；同时 28 号学生只能拿 28 号电影票；15 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，15 号学生只能拿 15 号电影票；同时 30 号学生只能拿 30 号电影票；之后的数，2,9=18，18 必拿 18 号，同时是 9 的倍数的 27 号只能拿 27；20=4,5，20 必拿 20；21=3,7，21 必拿 21 号；24=3,8，24 必拿 24，同时是 8的倍数的
15、16 号只能拿 16；28=4,7, 28 必拿 28；30=5,6, 30 必拿 30，同时是 5 的倍数的 25 号只能拿 25 号目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、29 号11、22 互为一组成倍数，13、26 亦互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26；或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26 号拿 2217、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 A44=24(种) 拿法故共有 224=48(种) 拿法22. 在 1、2、3、4、2002、2003 这 2003
16、个自然数中，（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是 160 的倍数？（2）写出你所取的所有数【答案】（1）13（2）80,240,400,560,720,880,1040,1200,1360,1520,1680,1840,2000【分析】因为选出的数中任意两个数的和都是 160 的倍数，那么有两种情况，第一种：这些数都是 160 的倍数，第二种：这些数除以 160 的余数都是 80从 12003 之间，满足第一种情况的数共有 2003160=12 个满足第二种情况的数共有 13 个，所以最多为 13 个23. 三个连续自然数依次是 13、11、7 的倍数，那么这三个连续自然数之
17、和 最小为多少？【答案】627【分析】详解：一个数满足：是 13 的倍数，且加 1 后是 11 的倍数，那么这个数最小是 65，下一个是 65+143=208，而 209、210 分别是 11、7 的倍数，所以最小是 208+209+210=62724. 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？【答案】29【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 写成两个数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，1073=2937，注意到人数是减去 1 是 3 倍数，所以人数是 37 均
18、每人种了 29 棵25. 在下面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字那么“好棒”所代表的两位数是多少？数好学好=棒棒棒【答案】79【分析】棒棒棒 是 37 的倍数，说明等号左边一定有 37 的倍数，可能是 37 或 74经验证算式只能是 2737=99926. 小明将 100 枚棋子分成 3 堆，已知第一堆比第二堆的 2 倍还多，第二堆比第三堆的 2 倍也要多，那么第三堆最多有多少枚棋子？【答案】13 枚【分析】设第三堆的棋子数为“1”份，第二堆的棋子数为“2”份多一些，第一堆的棋子数为“4”份多一些，总和为“7”份多一些，为使第三堆尽量多，即找与 100 最接近且
19、是 7 的倍数的数，为 98，但是 98 不行，只能找再小一点的 91，因此第三堆最多有 917=13 枚27. 123456789111112014个1 的各位数字之和为_【答案】18126【分析】123456789 是 9 的倍数，且 123456789n，则只有可能 n=1，所以 2m+2n+2=2m+4，逐步尝试之后，很容易得到 212=4096，刚好满足，红色短线至少有 212+1=4097(条)81. 已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？【答案】36【分析】解法一：结和“等差数列”和“最小”很容易想到 (1,2,3)，此时乘积
20、是 6，很明显三个数都扩 6 倍得到 (6,12,18) 就符合题意，和为 36，下面证明它是最小的注意到 6、12、18 中只含质因数 2 和 3，想到先排除其他种类的质因数假设这三个数中含质因数 5，那么肯定至少有 1 个数含 52证法一：设这三个数从小到大依次为 a-d、a、a+d情况一：如果某个数含质因数 5，且公差是 5 的倍数，那么三个数就都含质因数 5，由于乘积是完全平方数，所以肯定至少有 1 个数含 52（很容易想到若 2d 是 5 的倍数，那么 d 也一定是 5 的倍数）情况二：如果某个数含质因数 5，且公差不是 5 的倍数，那么三个数中就只有它含质因数 5，很明显它至少含
21、52证毕证法二：若乘积中至少含 54，那么根据抽屉原理，三个数肯定有一个数至少含 52；若乘积只含 52，若其中两个数都恰好含有 1 个因数 5，那么公差一定是 5 的倍数，故第三个数也是 5 的倍数，与乘积只含 52 矛盾，所以 52 只能恰好属于某一个数证毕要想三个数的和不超过 36，这个含 52 的数只能是 25，且是最大的那个数，此时满足“三个互不相等的正整数成等差数列”的最小只能是 (1,13,25)，和超过 36同理，2、3 以外的质因数均被排除很明显只含质因数 2 或只含质因数 3 是无法构造出“三个互不相同的正整数成等差数列”，所以这三个数的乘积里质因数 2 和 3 均有若乘积
22、是 62，结合之前的分析，必有个数至少含 32，个数至少含 22，很明显没有符合题意的情况若乘积是 64，结合之前的分析，必有一个数至少含 32，个数至少含 22，枚举一下发现只有 (6,12,18) 符合若乘积是 66，那么这三个数的和最小是 62+62+6236，肯定构造不出和更小的三个数同理，剩下的都不用讨论了综上，这三个数的和最小是 36解法二：考虑等差中项若等差中项是 1，很明显没有符合的；若等差中项是 2，只有 (1,2,3)，不符合；若等差中项是 3，只有 (1,3,5) 和 (2,3,4)，都不符合；（当然此时很明显可以想到，要想乘积是完全平方数，那么此时的公差一定要是 3 的
23、倍数，否则另外两个数都不含 3，乘积肯定不是完全平方数）若等差中项是 4，只有 (1,4,7)、(2,4,6)、(3,4,5)，都不符合；若等差中项是 5，那么公差肯定是 5 的倍数，很明显没有符合的；若等差中项是 6，那么公差肯定是 6 的倍数，很明显没有符合的；若等差中项是 7，那么公差肯定是 7 的倍数，很明显没有符合的；若等差中项是 8，那么公差肯定是 2 的倍数，只有 (2,8,14)、(4,8,12)、(6,8,10)，都不符合；若等差中项是 9，只有 (1,9,17)、(2,9,16)、(3,9,15)、(4,9,14)、(5,9,13)、(6,9,12)、(7,9,11)、(8
24、,9,10)，都不符合；若等差中项是 10，那么公差肯定是 10 的倍数，很明显没有符合的；若等差中项是 11，那么公差肯定是 11 的倍数，很明显没有符合的；若等差中项是 12，那么公差肯定是 3 的倍数，只有 (3,12,21)、(6,12,18)、(9,12,15)，其中 (6,12,18) 是符合的，且此时和最小，为 36综上，这三个数的和最小是 36解法三：设这三个数分别为 a-d、a、a+d，依题意有a(a-d)(a+d)=c2.如果 a 是完全平方数，那么可知 (a-d)(a+d) 也是完全平方数，设为 (a-d)(a+d)=a2-d2=q2，说明 (a,d,q) 是一组勾股数，所以 a 为完全平方数时最小为 (25,20,15)如果 a 不是完全平方数，那么假设 a=kb2，其中 k 没有完全平方因子，先证 b1，如果 b=1，则 a=k，易知 q 是 k 的倍数，所以 a2-d2 是 k 的倍数，所以 d 是 k 的倍数，又 da=k，所以不可能所以 b 最小为 2，求出 k 最小为 3，这时 a 为 12当 b3 时，a233=18，所以 a 最小为 12，这时三个数为 6、12、18，和为 36
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