1、学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1以下四组向量：a(1，2,1)，b(1,2，1)；a(8,4,0)，b(2,1,0)；a(1,0，1)，b(3,0,3)；a，b(4，3,3)其中a，b分别为直线l1，l2的方向向量，则它们互相平行的是()ABCD【解析】ab，ab.a4b，ab.b3a，ab.b3a，ab.【答案】D2已知线段AB的两端点坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)则线段AB与坐标平面()AxOy平行BxOz平行CyOz平行DyOz相交【解析】A(9，3,4)，B(9,2,1)(0,5，3)yOz平面内的向量的一般形式为a(0，y，z)a平面yOz.AB
2、平面yOz.【答案】C3已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15Dx6，y【解析】l1l2，设ab，(2,4,5)(3，x，y)，x6，y.【答案】D4已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()【导学号：32550041】AB6C6D【解析】，的法向量与的法向量也互相垂直(2,3，1)(4，2)8320，.【答案】A5已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中在平面内的是()A(1，1,1)BC.D【解析】要判断点P是否在平面内，只需
3、判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0，因此，要对各个选项进行检验对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(1，4，)(3,1,2)0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.【答案】B二、填空题6已知l，且l的方向向量为(2，8,1)平面的法向量为(1，y,2)，则y_.【解析】l，l的法向量，218y120，y.【答案】.7已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，向量(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则xyz_.【解析】设n(x，y，z)则n0，即(x，y，z)(1,1,0)0，xy0，n0，即(x，y，z)(
4、0，1,1)0，yz0，xyz111.【答案】1118已知a(1,1,0)，b(1,1,1)，若bb1b2，且b1a，b2a，则b1_，b2_.【解析】设b1(x，y，z)，b1a，xy，z0.又b2bb1(1x,1y,1z)，b2a，b2a1x1y0，得xy2.xy1.即b1(1,1,0)，b2(0,0,1)【答案】(1,1,0)(0,0,1)三、解答题9用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直【解】已知：如图，l，.求证：l证明：设平面，的法向量分别为a，b，c，直线l的方向向量为e，则ae0，be0.因为a，b与e不共面，故存在实数x，y，z使cx
5、aybze.因为ac，bc，所以因为与相交，所以a与b不共线，所以，所以方程组有唯一解所以cze，即ce，从而有l.图24410如图244所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.证明：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.【证明】(1)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系连结AC，AC交BD于G.连结EG.设DCa，依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且(a,0，a)，EG.2，即PAEG.而EG
6、平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，PB(a，a，a)又，故00，PBDE，由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.能力提升1已知(1,5，2)，(3,1，z)若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则x，y，z分别为()A.、4B、4C.、2、4D4、15【解析】，0，得z4.又BP平面ABC，0，0，可解得x，y.【答案】B2如图245，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AF：FD的值为()图245A12B11C31D21【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PAa.则
7、B(1,0,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y,0)，则(1，y,0)，.BFPE，0，解得y，则F点坐标为，F为AD中点，AFFD11.【答案】B3已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；，其中正确的是_【导学号：32550042】【解析】0，0，APAB，APAD且是平面ABCD的法向量【答案】4如图246，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC.图246(1)求证：ACPB；(2)设O，D分别为AC，AP的中点，点G为OAB内一点，且满足()，求证：DG面PB
8、C；【证明】(1)因为PA平面ABC，AC平面ABC，所以PAAC.又因为ABAC，且PAABA，所以AC平面PAB.又因为PB平面PAB，所以ACPB.(2)法一：因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC.又因为ABAC，所以建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AC2a，ABb，PA2c，则A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(2a,0,0)，P(0,0,2c)，D(0,0，c)，O(a,0,0)，又因为()，所以G.于是，(2a，b,0)，(0，b，2c)设平面PBC的一个法向量n(x0，y0，z0)，则有，即不妨设z01，则有y0，x0，所以n因为n1(c)0，所以n.又因为DG平面PBC，所以DG平面PBC.法二：取AB中点E，连接OE，则()由已知()可得，则点G在OE上连接AG并延长交CB于点F，连接PF.因为O，E分别为AC，AB的中点，所以OEBC，即G为AF的中点又因为D为线段PA的中点，又所以DGPF，又DG平面PBC，PF平面PBC，所以DG平面PBC.