1、几何-曲线型几何-圆-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率圆B1.了解有关圆的概念和性质2.学习圆的周长和面积公式的推导3.运用圆的性质以及周长和面积公式进行计算少考知识提要圆 概念圆是由一条曲线围成的平面图形圆中心的一点叫圆心，用 O 表示连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 来表示直径所在的直线是圆的对称轴 性质圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等；在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍d=2r；圆有无数条对称轴；圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；所有平面图形在周长相同的情
2、况下，圆的面积是最大的 公式圆的周长公式：C=2r 圆的面积公式：S=r2 精选例题圆 1. 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个圆哪个图中阴影部分的面积大？为什么？ 【答案】两图中阴影部分的面积相等【分析】设正方形的边长为 a，每一个圆的半径为 r，则正方形的每一条边上都有 a2r 个圆，从而正方形内部共有 a2ra2r 个圆，于是这些圆的总面积为：S阴影=r2a2ra2r=14a2可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分
3、的面积就是一定的由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等 2. 如图所示，大圆周长是小圆周长的 n(n1) 倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【答案】n-1 或 n+1【分析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离设小圆的半径为“单位 1”，则大圆的半径为“n”在内测滚动时，如图所示，因为圆心滚动的距离为 2(n-1)所以小圆绕自己的圆心转动了：2(n-1)2=n-1（圈）在外侧滚动时，如图所示因为圆心滚动的距离为 2(n+1)所以小圆绕自己的圆心转动了：2(n+1)2=n+1（圈） 3. 下图中，阴影
4、部分面积为多少？（AB=3）【答案】4.5【分析】方法一：阴影=小圆-柳叶=4.5；方法二：阴影=小正方形EHFG=332=4.5 4. 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】20【分析】阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形这个图形可以割补成一个顶角为 60 的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分的面积等于两个圆的面积，为 20 5. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是 100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部
5、分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】2258【分析】由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高 OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：12AD+BCOE+12AB22+12CD22+12BC22-12AO22=2258. 6. 如下图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？（ 取 3）【答案】19【分析】本题直接计算不方便，可以利用分割移
6、动凑成规则图形来求解如上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 14 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 42+12=19（平方厘米）在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形，从而利用面积公式进行求解这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键。 7. 如图所示，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置 起始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚到位置 如果 AB、BC、
7、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14，答案保留两位小数）【答案】228.07【分析】小圆滚动时所经过的区域如下图所示半圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是 4 平方厘米；长方形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面积之和是(18+16+14)4=192(平方厘米);60 的扇形 BGH 的面积为1642=83;PIMNO 部分的面积为 (12+) 平方厘米所以总面积为4+192+83+12+=204+233228.07(平方厘米). 8. 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置问：这枚硬币自身转动了
8、多少圈？【答案】见解析【分析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了180-60-60=60.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了360-60-60-90=150.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 300长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有 8 次是在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边1208+3004=2160,所以这枚硬币转动了 2160，即自身转动了 6 圈另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个 2 即滚动了一圈
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