1、章末质量检测(一)平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，在O中，向量，是()A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量解析：由图可知，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.答案：C2若A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则2等于()A5 B(1,5)C(6,1) D(4,9)解析：(2,3)，(3,3)，2(2,3)2(3,3)(4,9)答案：D3设向量a，b均为单位向量，且|ab|1，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：因为|ab|1，所以|a|22ab|b|21，所以c
2、os .又0，所以.答案：C4若A(x，1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为()A3 B1C1 D3解析：，(1x,4)(1,2)，2(1x)4，x1，故选B.答案：B5已知向量a，b满足ab(1,3)，ab(3，3)，则a，b的坐标分别为()A(4,0)，(2,6) B(2,6)，(4,0)C(2,0)，(1,3) D(1,3)，(2,0)解析：由题意知，解得答案：C6若a(5，x)，|a|13，则x()A5 B10C12 D13解析：由题意得|a|13，所以52x2132，解得x12.答案：C7如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为5
3、0 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A50 mB50 mC25 mD. m解析：由正弦定理得AB50(m)答案：A8已知平面内四边形ABCD和点O，若a，b，c，d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形 B梯形C矩形 D平行四边形解析：由题意知abdc，四边形ABCD为平行四边形，故选D.答案：D9某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v1|v2|.答案：C
4、10已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量(1,1)，则()()等于()A4 B2C0 D2解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量(1,1)，所以(2,1)(1,1)(1,2)，所以()()22(2212)(1222)550.故选C.答案：C11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形解析：，bc.又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cos A.A(0，)，A，ABC是等边三角形答案：C12在ABC中，若|1，|，|，则()A BC. D.解析
5、：由向量的平行四边形法则，知当|时，A90.又|1，|，故B60，C30，|2，所以.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_.解析：A，B，C不共线，与不共线又m与，都共线，m0.答案：014若向量(1，3)，|，0，则|_.解析：方法一：设(x，y)，由|知，又x3y0，所以x3，y1或x3，y1.当x3，y1时，|2；当x3，y1时，|2.故|2.方法二：由几何意义知，|就是以，为邻边的正方形的对角线长，又|，所以|2.答案：215给出以下命题：若a0，则对任一非零向
6、量b都有ab0；若ab0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2b2.其中正确命题的序号是_解析：上述三个命题中只有正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b2.当非零向量a，b垂直时，有ab0，显然错误答案：16用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_N.解析：如图，由题意得，AOCCOB60，|10，则|10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示，已知a，b，c，d，e，f，试用a，b，c，
7、d，e，f表示：(1)；(2)；(3).解析：(1)因为b，d，所以db.(2)因为a，b，c，f，所以()()bfac.(3)ce.18(12分)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，c5a3b，d3akb，当实数k为何值时，(1)cd；(2)cd.解析：由题意得ab|a|b|cos 60233.(1)当cd，cd，则5a3b(3akb)35，且k3，k.(2)当cd时，cd0，则(5a3b)(3akb)0.15a23kb2(95k)ab0，k.19(12分)已知向量a(1,3)，b(m,2)，c(3,4)，且(a3b)c.(1)求实数m的值；(2)求向量a与b的夹角.解析：(1)因为
8、a(1,3)，b(m,2)，c(3,4)，所以a3b(1,3)(3m,6)(13m，3)因为(a3b)c，所以(a3b)c(13m，3)(3,4)3(13m)(3)49m90，解得m1.(2)由(1)知a(1,3)，b(1,2)，所以ab5，所以cos .因为0，所以.20(12分)已知向量a(1,3)，b(2，2)(1)设c2ab，求(ba)c；(2)求向量a在b方向上的投影解析：(1)由a(1,3)，b(2，2)，可得c(2,6)(2，2)(4,4)，ba(1，5)，则(ba)c42016.(2)向量a在b方向上的投影为.21(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C
9、，满足20，(1)用，表示；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形解析：(1)因为20，所以2()()0，220，所以2.(2)证明：如图，(2)故.故四边形OCAD为梯形22(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a3b)cos Cc(3cos Bcos A)(1)求的值；(2)若ca，求角C的大小解析：(1)由正弦定理得，(sin A3sin B)cos Csin C(3cos Bcos A)，sin Acos Ccos Asin C3sin Ccos B3cos Csin B，即sin(AC)3sin(CB)，即sin B3sin A，3.(2)由(1)知b3a，ca，cos C，C(0，)，C.
