1、宁夏六盘山市高级中学2021届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）测试时间：120分钟 满分：150分一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用补集的定义求出，再利用交集的定义可得答案.【详解】因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：A.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的乘除运算化简，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可.【详解】由题意，所以对应的点的坐标为.故选：B3. 已知函数，则（ ）A. 4
2、B. 16C. 32D. 64【答案】D【解析】【分析】直接根据分段函数解析式代入计算可得；【详解】解：因为，所以，故选：D4. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果【详解】，.故选：C5. 若向量，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项的正误；利用平面向量模长的坐标表示可判断B选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断CD选项的正误.【详解】对于A选项，A选项错误；对于B选项，由平面向量的模长公式可
3、得，B选项错误；对于C选项，所以，C选项正确；对于D选项， 因为，所有， D选项错误.故选：C.6. 已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（ ）A. 9B. 0C. 9D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由得出，代入可得答案.【详解】设的公差为d，因为是与的等比中项，所以，即，可得，所以.故选：B.7. 在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解不等式的解集，利用几何概型的长度比公式代入求解.【详解】不等式的解集为，所以概率.故选：D.8. 执行如图的程序框图，如果输入的为0.05，则输出s的值等于（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，满足退出循环的条件；输出故选：A9. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 1B. 20C. 28D. 32【答案】C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】在平面直角坐标系内
5、画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由得点，由图得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由三角函数的平移原则，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性，
6、即可求出结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以，由可得，即函数的单调递增区间是.故选：D.11. 已知抛物线，过点作C的两条切线，切点分别为B、D，则过点A、B、D的圆截y轴所得弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B、D两点的坐标，进而得出过点A、B、D的圆的方程，求出弦长即可【详解】设过点的直线方程为，联立，可得，由，解得即，不妨设，则的中垂线方程为，即圆心在轴上又，且点到点A、B、D的距离都相等，则圆心坐标为，半径为圆的方程为，令，解得即圆被y轴所截得的弦长为故选：A【点睛】关键点点睛：本
7、题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题12. 定义在R偶函数满足，对，都有，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.【详解】，即，的周期，由条件可知函数在区间单调递增，函数在区间单调递增，即.故选：B【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含，则函数的周期是，若函数，或 ，则函数的周期是，或是，则函数的周期是.二.填空
8、题（共4小题，满分20分，每小题5分）13. 曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程【详解】，切线的斜率为则切线方程为，即故答案为：14. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的离心率是_.【答案】【解析】【分析】设出双曲线的方程，利用中点坐标公式求出的坐标，将其坐标代入双曲线的方程，通过，的关系列出另一个等式，解两个方程得到，的值即可求解双曲线的离心率【详解】据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在轴上，设双曲线的方程为一个焦点为 线段的中点坐标为，的坐标为，将代入双曲线的方程得 由得， 所以，
9、双曲线的离心率为：故答案为：【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解15. 某一次学生考试结束后，老师随机询问甲、乙、丙3位同学的考试情况，甲说：“我的成绩比乙好”；乙说：“丙的成绩比我和甲的都好”；丙说“我的成绩比乙好”，丁同学告诉老师只有一个人说了真话，请问：甲、乙、丙3位同学成绩最好的是同学_.【答案】甲【解析】【分析】逐个分析假设甲、乙、丙说的是真话，根据题意即可判断出结果【详解】假设甲说了真话，说明甲、乙、丙3位同学成绩最
10、好的是甲同学，假设乙说了真话，此时丙也说了真话，这与题意矛盾，假设丙说了真话，此时乙也说了真话，这与题意矛盾，综上所述，只有甲说了真话，甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学故答案为：甲16. 在直三棱柱中，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设，球的半径为，连接，交于点，取中点，连接，即为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得间关系，表示出，根据基本不等式可求得的最小值，从而得到球的表面积的最小值.【详解】如图，因为三棱柱是 ，且，设，球的半径为，连接，交于点，取中点，连接，则到三棱柱六个定点的距离相等，即为三棱柱外接球球心，又因为三棱锥的体积
11、为，即，即，所以，当且仅当时等号成立，所以球的表面积最小值为，故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三.解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分，每题12分）17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1
12、）求B；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.【详解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，在中，即，即；（2）由余弦定理得：，的周长为.18. 如图，四边形为矩形，且，平面，为的中点.（1）求证：；（2）若为中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直；（2）利用等体积转化法求得几何体体积，或将转化为求解.【详解】（1）如图，连接，为的中点，由，得，又得，又平面，且平面，
13、又，平面，又平面，.（2）如图，取、的中点、，连接、.易得平面平面，又且，平面，.法二：因为为中点，所以.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积19. 为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男
14、、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h（单位：厘米），将男、女生身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有的把握认为男、女生身高有差异？人数男生女生身高身高参照公式：0.100.050.0250.0100.00500012.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本.若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率.【答案】（1）男：，女：；（2）答案见解析，有；（3）0.6.【解析】【分析】
15、（1）根据题中数据完善茎叶图即可，结合平均数的计算公式即可求出结果；（2）根据题中数据完善列联表，再由求出，结合临界值表即可得出结论；（3）先由题意确定身高属于正常的男生概率，进而可求出结果.【详解】（1）茎叶图为：男生女生1568314791656329048031702518平均身高为：男：，女：.（2）20名学生身高的中位数，男、女身高的列联表：人数男生女生身高73身高37，有90%把握认为男、女身高有差异.（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生，记这三名男生为a，b，c身高属于不正常（偏矮或偏高）的男生，记这两名男生为1，2从以上5名学生中任取2人的结果有：，12共10种其中恰好一名
16、身高属于正常的男生的事件A有：，共6种.恰有1人属于正常的概率为0.6.【点睛】本题主要考查茎叶图以及独立性检验的问题，熟记平均数的计算公式、独立性检验的思想等即可，属于常考题型.20. 已知函数.（1）若是极值点，求的极大值；（2）若，求实数t的范围，使得恒成立.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，在时恒成立，构造函数，结合导数及函数的性质可求.【详解】解：（1），由题意可得，解可得，所以，当，时 ，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数取得极大值；（2）由得在时恒
17、成立可得，在时恒成立，令，则，令，所以，令，提，所以当，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数取得最小值，又，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，可得，所以.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过作直线，分别与椭圆C交于A，B，C，D四点，且，的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求出，根据，
18、即可求解. （2）当斜率存在时，设出直线的斜率求出方程，与椭圆方程联立利用韦达定理求出AB的中点坐标，同理可得到CD的中点坐标，讨论中点的所在的直线是否过定点，再讨论线直线的斜率不存在时过的定点可得答案.【详解】（1）因为椭圆的离心率，又因为三角形的周长为8，则，所以，所以，故椭圆的标准方程为.（2）证明：设点，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得：，则，故，故的中点M的坐标为，由，它们的斜率乘积为-1，可得的中点坐标为，令，解得，此时，故直线过点，当时，所以，即M，N，G三点共线，所以直线过定点，若，有一个斜率不存在时，则必有一直线为y轴，也过定点，综上，直线过定点.【点睛】本题考查了椭圆的定
19、义、直线与椭圆的位置关系，关键点是利用韦达定理求出中点坐标讨论中点所在直线是否过定点，考查了分类讨论的思想，分析问题、解决问题及计算问题的能力，属于难题.（二）选考题：（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）22. 在直角坐标系 中，曲线C的参数方程（为参数）为参数在变换的作用下曲线C变换为曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设曲线的对称中心为P，直线l与曲线的交点为A，B，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由变换得曲线，（为参数），
20、再消参得普通方程.将，代入即可得到直线l的直角坐标方程.（2）由（1）得得圆心，求得圆心到直线l的距离，再由几何法求得弦长AB，从而求得的面积.【详解】解：（1）曲线C的参数方程，（为参数）经过变换得，（为参数）消参得普通方程为.，即，将，代入即可得到直线l的直角坐标方程为.（2）由得圆心，则圆心到直线l的距离为，所以的面积为.【点睛】方法点睛：在解决直线与圆的相关问题时，注意运用直线与圆的几何性质，可使运算简便.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）依题意可得，再利用零点分段法解绝对值不等式；（2）根据绝对值三角不等式及基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）当时，不等式为.所以或或解得或，综上所述，不等式的解集为或；（2），而，当且仅当时等号成立.即当x和a变化时，的最小值为2，因为不等式对任意实数x及a恒成立，.【点睛】本题是含参数的不等式恒成立问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.
