1、第6讲导数及其应用1. 设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2，则yf(x)的表达式是_答案：f(x)x22x12. 函数f(x)2x2lnx的单调递增区间为_答案：解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x，令f(x)0，得x.3. 曲线yx(3lnx1)在点(1，1)处的切线方程为_答案：y4x3解析：y3lnx13，ky|x14，则切线方程y14(x1)， y4x3.4. 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_. 答案：(2，15)解析：由C：yx310x3，
2、得y3x2102，即x24，又切点在第二象限， x2，y15.5. 设点P是曲线yx3x上的任意一点，在P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是_. 答案：解析：y3x2， tan，由0且，结合正切函数图象可得的取值范围为.6. 已知函数f(x)lnx2x2ax1是单调递增函数，则实数a的取值范围是_答案：a4解析：x(0，)，f(x)4xa0恒成立，由基本不等式4xa4a，当且仅当x时取等号， a40， a4.7. 设函数f(x)x33x2，若不等式f(32sin)f(x)max，x1，5，f(x)3x23，令f(x)0，x1，当x1，5时，f(x)0恒成立，即f(x)在1，5上为减函数，f(x
3、)maxf(1)4，故所求实数m的取值范围为(4，)8. 若方程x33xa0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是_答案：(2，2)解析：设f(x)x33xa，f(x)3(x1)(x1)，f(x)在x1取极大值，在x1时取极小值，2a2.9. 若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_答案：9解析：f(x)12x22ax2b，f(1)0，ab6，因为a0，b0，所以6ab2，ab9，当且仅当ab时取等号10. 已知a、b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0，1上的最大值为4，则f(x)在1，0上的最小值为_答案：解析：由a、b为正实数，可得函数yax
4、3bx的导函数y3ax2b0恒成立，所以yax3bx是R上的增函数，从而f(x)ax3bx2x是R上的增函数所以当x0，1时，f(x)maxf(1)ab24，即ab2.当x1，0时，f(x)minf(1)ab2.11. 已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1) 求a、b、c、d的值；(2) 若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解：(1) 由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4，而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)， a4，b2，c2，d2.(2) 由(1)知，f(
5、x)x24x2，g(x)2ex(x1)，设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2(x2)，F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)，由题设可得F(0)0，即k1，令F(x)0得，x1lnk，x22， 若1ke2，则2x10， 当x(2，x1)时，F(x)0，当x(x1，)时，F(x)0，即F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增，故F(x)在xx1取最小值F(x1)，而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0， 当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立 若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2)， 当x2时，F(x)0， F(x)在
6、(2，)上单调递增，而F(2)0， 当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立 若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0， 当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上所述，k的取值范围为1，e212. 已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设a1.如果对任意x1、x2(0，)都有|f(x1)f(x2)|4|x1x2|，求a的取值范围解：(1) f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调减；当1a0时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(
7、x)0；x(，)时，f(x)0.故f(x)在上单调增，在上单调减(2) 不妨假设x1x2，而a1，由(1)知f(x)在(0，)上单调减，从而|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)4x2f(x1)4x1，令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4， 等价于g(x)在(0，)上单调减，即2ax40，从而a2，故a的取值范围为(，2. 13. 已知函数f(x)(m3)x39x.(1) 若函数f(x)在区间(，)上是单调函数，求m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间1，2上的最大值为4，求m的值解：(1) 因为f(0)90，所以f(x)在区间(，)上只能是单调增函数由f(x)3(m
8、3)x290在区间(，)上恒成立，所以m3.故m的取值范围是3，)(2) 当m3时，f(x)在1，2上是增函数，所以f(x)maxf(2)8(m3)184，解得m3，不合题意，舍去当m3时，f(x)3(m3)x290，得x.所以f(x)的单调区间为单调减，单调增，单调减 当2，即m3时，1，2，所以f(x)在区间1，2上单调增，f(x)maxf(2)8(m3)184，m，不满足题设要求 当12，即0m时，f(x)maxf04舍去 当1，即m0时，则1，2，所以f(x)在区间1，2上单调减，f(x)maxf(1)m64，m2.综上所述，m2.滚动练习(一)1. 幂函数f(x)的图象过点，那么f(
9、8)_答案：解析：f(x)x，f(4)，f(x)x，f(8).2. 命题“xR，使得xsinx10，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是_答案：2，)解析：由f(1)得a2， a，即f(x).由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增， f(x)在(，2上递增，在2，)上递减5. 若函数f(x)在(，2上有意义，则实数k的取值范围是_答案：(，1解析：函数f(x)在(，2上有意义，即4k2x0在(，2上恒成立，即k2x4在(，2上恒成立， 2x0， k在(，2上恒成立 在(，2上02x4， k1.6. 方程2xx23的实数解的个数为_答案：2解析：在同一个直角坐标系中作出函数y
10、和y3x2的图象，两个函数图象有两个交点7. 对于满足0a4的实数a，使x2ax4xa3恒成立的x取值范围是_答案：(，1)(3，)解析：x2ax4xa3可化为(x1)ax24x30对a0，4恒成立，设f(a)(x1)ax24x3， 解得x1或x3.8. 若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9(a0)都相切，则实数a_答案：1或解析： 设过(1，0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又(1，0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由直线y0与抛物线yax2x9相切可得a；当x0时，由直线yx与曲线yax2x9相切可得a1.9.
11、 已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)_答案：2 008解析：令3xt，则xlog3t，则f(2)f(4)f(8)f(28)4log23(log32128)23382 008.10. 设a为实常数，yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)9x7.若f(x)a1对一切x0成立，则a的取值范围为_答案：(，解析：f(0)0，故0a1a1；当x0时，f(x)9x7a1，即6|a|a8.又a1，故a.11. 分别在曲线yex与直线yex1上各取一点M与N，则MN的最小值为_答案：解析：在曲线yex图象上任取一点M(a，b)，过点M的切线的斜率为kea，令e
12、ae，a1，M(1，e)，过点M的切线方程为yex，则MN的最小值为直线yex与yex1的距离为.12. 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_答案：(，0)解析：f(x)(2x1)*(x1)即f(x)如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，即x1x2x3.当x0时，x2xm，即x2xm0， x2x31， 0x2x3，即0x
13、2x3；当x0时，由得x， x10， 0x1. 0x1x2x3， x1x2x30.13. 已知p：12x8；q：不等式x2mx40恒成立，若綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围解：p：12x8，即0x3， 綈p是綈q的必要条件， p是q的充分条件， 不等式x2mx40对x(0，3)恒成立， mx对x(0，3)恒成立 x24，当且仅当x2时，等号成立， m4.14. 设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两实根x1和x2满足0x1x21.(1) 求实数a的取值范围；(2) 试比较f(0)f(1)f(0)与的大小 ，并说明理由解：(1) 令g(x)f(x)xx2(a1)xa，则由题意
14、可得0a32.故所求实数a的取值范围是(0，32)(2) f(0)f(1)f(0)2a2，令h(a)2a2. 当a0时，h(a)单调递增， 当0a32时，0h(a)h(32)2(32)22(1712)，即f(0)f(1)f(0).15. 已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OCr，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在上要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值解：如图甲，设DBC，则BDcos，DCsi
15、n，所以SBDCr2sin2r2，当且仅当时取等号，此时点D到BC的距离为r，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为r2.如图乙，设EOD，则OErcos，DErsin，所以SBDEr2(1cos)sin，.设f()r2(1cos)sin，则f()r2(1cos)(2cos1)，当时，f()0，所以时，即点E与点C重合时，BDE的面积最大值为r2.因为r2r2，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为r2.16. 已知函数f(x)(1) 求f(x)的值域；(2) 设函数g(x)ax2，x2，2，若对于任意x12，2，总存在x02，2，使得g
16、(x0)f(x1)成立，求实数a的取值范围解：(1) 当x2，1)时，f(x)x在2，1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)；当x时，f(x)2；当x时，f(x)x在上是增函数，此时f(x). f(x)的值域为.(2) 若a0，g(x)2，对于任意x12，2，f(x1)，不存在x02，2使得g(x0)f(x1)都成立 若a0，g(x)ax2在2，2上是增函数，g(x)2a2，2a2，对于任意x12，2，f(x1)，若存在x02，2，使得g(x0)f(x1)成立，则2a2，2a2， 有解得 a. 若a0，g(x)ax2在2，2上是减函数，g(x)2a2，2a2，任给x12，2，f(x1)，若存在x02，2使得g(x0)f(x1)成立，则2a2，2a2解得 a.综上，实数a的取值范围是.
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有