1、1.3.2函数的极值与导数Q在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点对于连续函数，有类似的性质“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小X1如图是函数yf(x)的图象，在xa邻近的左侧f(x)单调递增，f(x)0，右侧f(x)单调递减，f(x)0，在xa邻近的函数值都比f(a)小，且f(a)0.在xb邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有(c，f(c)，(e，f(e)，
2、与b类似的点还有(d，f(d).我们把点a叫做函数f(x)的极大值点，f(a)是函数的一个极大值；把点b叫做函数f(x)的极小值点，f(b)是函数的一个极小值2一般地，已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于x0附近的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取得极小值，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.Y1下列四个函数：yx3；yx21；y|x|；y2x.在x0处取得极小值的函数是(B)ABC D解析yx3在R上单调递增，无极值；yx21在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故正确；y|x|在(，
3、0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故正确；y2x在R上单调递增，故不正确选B2(2019银川三模)已知函数f(x)cosxalnx在x处取得极值，则a(C)A BC D解析f(x)cosxalnx，f (x)sinx，f(x)在x处取得极值，f ()0，解得：a，经检验符合题意，故选C3已知f(x)x3x22x1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且0x11x23，则实数a的取值范围为(3，).解析f(x)x2ax2，x1，x2是f(x)0的两个根，由0x11x23，结合二次函数的性质得：解得3a.4求下列函数的极值(1)f(x)x312x；(2)f(x)x2ex.解析(1)函数f(x)的
4、定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值f(2) 16极小值f(2)16从表中可以看出，当x2时，函数有极大值16.当x2时，函数有极小值16.(2)函数的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0；当x2时，函数有极大值，且f(2).H命题方向1利用
5、导数求函数的极值典例1求函数y3x3x1的极值思路分析首先对函数求导，然后求方程y0的根，再检查y在方程根左、右两侧的值的符号如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值解析y9x21，令y0，解得x1，x2.当x变化时，y和y的变化情况如下表：x(，)(，)(，)y00y单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x时，y有极大值，并且y极大值.而当x时，y有极小值，并且y极小值.规律总结利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)解方程f(x)0得方程的根(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导
6、函数在各个小开区间的符号(5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值.跟踪练习1(1)(2019武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f (x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(A)A1B2C3 D4(2)(2019昆明高二检测)在等比数列an中，a3，a7是函数f(x)x34x29x1的极值点，则a5(B)A4 B3C3 D4解析(1)由图象可知，满足f (x)0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个(2)因为f(x)x34
7、x29x1，所以由f (x)x28x90可知a3a79，a3a78，因为等比数列中aa3a7且a30，所以a53.命题方向2求参数的值或取值范围问题典例2已知f(x)ax5bx3c在x1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值思路分析本题的关键是理解“f(x)在x1处的极大值为4，极小值为0”的含义即x1是方程f(x)0的两个根且在根x1处f(x)取值左、右异号解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)(1)当a0时，x变化时，y、y的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)y000y极大
8、值无极值极小值由表可知：又5a3b，解之得：a3，b5，c2.(2)当a0时，同理可得a3，b5，c2.综上，a3，b5，c2或a3，b5，c2.规律总结已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性跟踪练习2已知函数f(x)(aR，a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)，f (x).由f (x)0，得x2.当x变化时，f (x)，f(x)
9、的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f (x)0f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f (x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0时，F(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0F(x)极大值当x2时，F(x)11，当x2时，令F(x)10，即a(x1)ex0，由于a(x1)exa(x1)e2，令a(x1)e20，得x1，即x1时，F(x)0与f(x)0的x的取值范围，并区分f(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断解析由f(x)的图象可见在和(2,4)上f(x)0，f(x)单调增，只有正确规律总结有关给出图象研究函数性
10、质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解.跟踪练习3已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：函数f(x)在区间(1，)内是增函数；函数f(x)在x1处取得极大值；函数f(x)在x处取得极大值；函数f(x)在x1处取得极小值，其中正确的说法有.(填所有正确的序号)解析从图象上可以发现，当x(1，)时，xf (x)0，于是f (x)0，故f(x)在区间(1，)内是增函数
11、，正确；当x(，1)时，xf (x)0，当x(1,0)时，xf (x)0，所以f (x)0，故函数f(x)在x1处取得极大值，正确；当x(1,1)时，f (x)0，所以函数f(x)在区间(1,1)内是减函数，错；当x(0,1)时，xf (x)0，于是f (x)0，故f(x)在区间(0,1)内是减函数，而在区间(1，)上是增函数，所以函数f(x)在x1处取得极小值，正确X有关函数极值的综合应用在函数的综合问题中，涉及方程的根的个数时，常以函数极值为工具，并用数形结合来判断方程根的个数或已知方程根的个数来确定字母参数的取值范围典例4已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(
12、2)若f(x)在x1处取得极大值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解析(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0解得x；由f(x)0解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)；f(x)的单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极大值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知，m的取值范
13、围是(3,1)规律总结函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决跟踪练习4设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线f(x)与x轴有且只有一个交点？解析(1)f (x)3x22x1.令f (x)0，则x或x1.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f()a，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x
14、取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点综合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值a0，即a(1，)时，它的极大值也大于0，因此曲线yf(x)与x轴也仅有一个交点，它在(，)上所以当a(，)(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点Y忽视极值存在的条件致误典例5已知函数f(x)x36mx24nx8m2在x2处取得极值，且极值为0，求m4n的值错因分解可导函数的极值点一定是导数为零的点在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号正解f (x)3x212mx4n，依题意有即解得或当m1，n3时，f (x)3x212x123(x2)20，
15、所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；当m2，n9时，f (x)3x224x363(x2)(x6)，当6x2时f (x)2时f (x)0，故f(x)在x2处取得极值，符合题意综上所述，m2，n9，所以m4n38.点评由于“f (x0)0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f (x0)0求得m，n的值后，要验证在xx0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解K1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)(C)A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个
16、极小值点D有四个极大值点，无极小值点解析f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值由图象易知有两个极大值点，两个极小值点2已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为(A)A极大值为，极小值为0B极大值为0，极小值为C极小值为，极大值为0D极大值为，极小值为0解析f(x)3x22pxq，由得f(x)3x24x1.令f(x)0得x或x1，易得x时，f(x)有极大值，x1时，f(x)有极小值0.3(2019海南二模)若x1是函数f(x)x3的一个极值点，则实数a3.解析函数f(x)x3，f (x)3x2，x1是函数f(x)的一个极值点，f (1)0，即3a0，a3.故答案为3.4(2018全国卷文，21(1)已知函数f(x)aexln x1.设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间解析f(x)的定义域为(0，)，f (x)aex.由题设知，f (2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f (x)ex.当0x2时，f (x)2时，f (x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增