1、第三章3.3基础练习1若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()AB2CD【答案】D【解析】由题意，得()，| .2设直线l与平面相交且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()ABCD【答案】C【解析】线面角的范围是.3在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()ABCD【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，(1，1,2)，(1
2、,0,2)故BM与AN所成的角的余弦值cos .4如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是()ABCD【答案】B【解析】以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,0)因O为A1C1的中点，O，.设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即可取n(1,0,1)点O到平面ABC1D1的距离为d.5已知点B是点A(3,7，4)在xO
3、z平面内的射影，则|_.【答案】5【解析】由题意知B点的坐标为(3,0，4)，|5.6已知点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点(包括边界)，则的取值范围是_【答案】【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A1(0,0,0)，A(0,0,1)，C(1,1,1)，设P(x，y,0)(x，y0,1)，则(x，y,1)，(1x，1y，1)x(1x)y(1y)122.当x，y时，取得最小值；当点P取(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(1,1,0)时，取得最大值1.7(2019年广东广州期末)在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，A
4、CBCBD2AE，M是AB的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CMEM；(2)求CM与平面CDE所成角的大小(1)证明：分别以CB，CA所在直线为x轴，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设AEa，则M(a，a,0)，E(0，2a，a)，D(2a,0,2a)，(a，a,0)，(a，a，a)aa(a)a0(a)0，CMEM.(2)解：(0，2a，a)，(2a,0,2a)设平面CDE的法向量n(x，y，z)，则有即令y1，则n(2,1,2)cos，n.直线CM与平面CDE所成的角为45.8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，
5、BC2，CC14，点E在棱BB1上且EB11，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD之间的距离(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1(a,0,0)，则C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G.(0,2,2)，(a,0,0)，(0,2，2)0000，0440.B1DAB，B1DBD又ABBDB，B1D平面ABD(2)证明：(a,0,0)，(0,22)，(0,1，1)，.GFAB，EFBD
6、又GFEFF，ABBDB，平面EGF平面ABD(3)解：由(1)(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，设(0,2，2)，则(0,2，21)，又(0,1，1)，与共线，则.|.平面EGF与平面ABD之间的距离为.能力提升9(2019年云南昆明模拟)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为()ABCD【答案】A【解析】BC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD又PAAB，且ADABA，PA平面ABCD以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空
7、间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，(2,1,0)，.易求得平面AMC的一个法向量为n(1，2，1)，又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角BACM的余弦值为.10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()ABCD【答案】A【解析】AB1，AC2，BC，ABBC 以B为原点，BC，BA，BB1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易得，平面BB1C1C的法向量(0,1,0)，则直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦
8、值sin |cos，|，.故选A11已知四面体顶点A(2,3,1)，B(4,1，2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离d_.【答案】11【解析】平面ABC的法向量n(3，6,2)，又(7，7,7)，d11.12(2017年新课标)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值(1)证明：取AC的中点O，连接BO，ODABC是正三角形，OBAC，ABBCBD在ABD与CBD中，ABD CBDA
9、DCDACD是直角三角形，AC是斜边，ADC90，DOAO.DO2BO2AO2BO2AB2BD2.BOD90，即OBOD又OBAC，DOACO，OB平面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC(2)解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h1，h2，则.平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，1，即点E是BD的中点建立如图所示的空间直角坐标系令AB2，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)，B(0，0)，E.(1,0,1)，(2,0,0)设平面ADE的法向量为m(x，y，z)由得取z3，得m(3，3)同理可得平面ACE的一个法向量为n(0,1，)若二面角DAEC为，易知为锐角，cos ，二面角DAEC的余弦值为.