1、考点(一)数列的通项公式 【基本知识通关】1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)2数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式3数列的递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)(或anf(an1，an2)等)，那么这个式子叫做数列an的递推公式4Sn与an的关系已知数列an的前n项和为Sn，则an这个关系式对任意数
2、列均成立5.由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(2)若第n项和第n1项正负交错，那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳提醒根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验6.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1
3、S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写7.典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11，an1an2nan1anf(n)叠乘法a11，2nan1AanB (A0,1，B0)化为等比数列a11，an12an1an1 (A，B，C为常数)化为等差数列a11，an18.数列an的前n项和Sn与通项an的关系为an通过纽带：anSnSn1(n2)，根据题目已知条件，消掉a
4、n或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解【知识应用通关】1.数列1，4,9，16,25，的一个通项公式是()Aann2Ban(1)nn2Can(1)n1n2Dan(1)n(n1)2【答案】C【解析】法一：该数列中第n项的绝对值是n2，正负交替的符号是(1)n1，故选C.法二：将n2代入各选项，排除A，B，D，故选C. 2.把1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)则第7个三角形数是()A27B28C29D30【答案】B3.已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若
5、Sn3n2n1，求an.【答案】（1）2；(1)n1(2n1)（2）【解析】(1)a5a6S6S4(6)(4)2，4.(1)在数列an中，a12，an1an3n2，求数列an的通项公式(2)在数列an中，a11，anan1(n2)，求数列an的通项公式(3)在数列an中a11，an13an2，求数列an的通项公式(4)已知数列an中，a11，an1，求数列an的通项公式【答案】（1）n2.（2）（3）23n11（4）(nN*)【解析】(1)因为an1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a12(311)，符合上式，所以
6、ann2.(2)因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1.由累乘法可得ana1(n2)又a11符合上式，an.(3)因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3.又a112，所以an123n1，所以an23n11.(4)an1，a11，an0，考点(二)数列的性质 【基本知识通关】1.数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的
7、前一项2. (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去 3判断数列单调性的两种方法(1)作差比较法an1an0数列an是单调递增数列；an1an0时1数列an是单调递增数列；1数列an是单调递减数列；1数列an是常数列an1数列an是单调递减数列；36，得n23n700，解得n7.又因为nN*，所以n的最小值为8，故选B. 3.已知函数f(x)(a0，
8、且a1)，若数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A(0,1)BC(2,3)D(1,3)【答案】C【解析】因为an是递增数列，所以解得2a0.因为a2a44a31，所以(a12)(a16)4(a14)1，所以a4a150，解得a11或a15(舍去)，所以an2n1.(2)a1a3a9a3n(211)(231)(2321)(23n1)2(13323n)(n1)2(n1)3n1n2.考点(二)等差数列的基本性质及应用 【基本知识通关】1.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanap
9、aq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差数列，公差为m2d.(5)S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解(6)an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.(7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是an的公差的.2.利用等差数列性质求解问题的注意点 (1)如果an为等差数列，mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出现amn，am，a
10、mn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am(amnamn)转化为求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等提醒一般地，amanamn，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是amnamn2am.3.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)通项变号法a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使
11、得Sn取得最小值为Sm.【知识应用通关】1.设等差数列an的前n项和为Sn，若S954，则a2a4a9()A9B15 C18D36【答案】C【解析】由等差数列的通项公式及性质，可得S99a554，a56，则a2a4a9a1a5a93a518.故选C. 2.等差数列an的前n项和为Sn，若m1，且am1am1a0，S2m138，则m等于()A38B20 C10D9【答案】C3.已知等差数列an的前n项和为Sn，a4a7a109，S14S377，则使Sn取得最小值时n的值为()A4B5 C6D7【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得a4a7a103a79，得a73.S14S311a977，解得a
12、97，所以等差数列的通项公式为an2n11.当n6时，an0；当n5时，an0，所以使Sn取得最小值的n的值为5.4.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S130，则在数列中绝对值最小的项为()A第5项B第6项 C第7项D第8项【答案】C【解析】根据等差数列an的前n项和公式Sn，因为所以由得 所以数列an中绝对值最小的项为第7项考点(三)等差数列的判定与证明【基本知识通关】1.等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列an，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q
13、为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列提醒判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2a1d这一关键条件 【知识应用通关】1(2016浙江高考)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列BS是等差数列Cdn是等差数列Dd是等差数列【答案】A2若数列an的前
14、n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式【答案】（1）证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列（2）第三节 等比数列及其前n项和考点(一)等比数列基本量的计算 【基本知识通关】1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G
15、，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3.解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn. 【知识应用通关】1已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则()A4n1B4n1C2n1D2n1【答案】D2 Sn是等比数列an的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则
16、an的公比q的值为()A.B2CD2【答案】D【解析】由S4，S3，S5成等差数列，得2S3S5S4，即2(a1a2a3)2(a1a2a3a4)a5，整理得a52a4，所以2，即q2，故选D.3若等比数列an的前n项和为Sn，且S23，S663，则S5()A33B15C31D33或31【答案】D【解析】由题意得a1a23，a3a4a5a660，设数列an的公比为q，则a1q2a2q2a1q4a2q460，得q2q420，即q2或q2.当q2时，得a11，故S531；当q2时，得a13，得S533，故选D.4设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通
17、项公式；(2)求a1a3a2n1.【答案】（1）（2）考点(二)等比数列的性质 【基本知识通关】 (1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*.特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rN*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1ana2an1akank1.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列(4)SmnSnqnSmSmqmSn.(5)当q1或q1且k为奇数
18、时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列，其公比为qk.(6)若a1a2anTn，则Tn，成等比数列(7)若数列an的项数为2n，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则q；若项数为2n1，则q.【知识应用通关】1已知各项不为0的等差数列an满足a6aa80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11()A1B2C4D8【答案】D【解析】由等差数列的性质，得a6a82a7.由a6aa80，可得a72，所以b7a72.由等比数列的性质得b2b8b11b2b7b12b238. （2）3n11.第四节 数列的综合问题考点(一)数列求和 【基本知识通关】1公式法与分组转化法(1)公式法直接利
19、用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 05
20、0.3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的【知识应用通关】1.已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 017()A.1B1C.1D1【答案】C2.已知数列an中，a1a21，an2则数列an的前20项和为()A1 121B1 122C1 123D1 124【答案】C【解析】由题意可知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2
21、n1是首项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为10121 123.选C.3.已知数列an，bn满足a15，an2an13n1(n2，nN*)，bnan3n(nN*)(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.【答案】（1）2n（2）2n1【解析】(1)an2an13n1(nN*，n2)，an3n2(an13n1)，bn2bn1(nN*，n2)b1a1320，bn0(n2)，2，bn是以2为首项，2为公比的等比数列bn22n12n.(2)由(1)知anbn3n2n3n，Sn(2222n)(3323n)2n1.4.已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S22a2
22、2，S3a42.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.【答案】（1）2n（2）2 考点(二)数列的综合应用问题 【基本知识通关】 1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有：(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质；(2)重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组)的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方式有：(1)以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通项
23、公式或前n项和；(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题.3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等.(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等.(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.3.等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中
24、，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的提醒在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合4.数列与函数问题的解题技巧(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用
25、解法有助于该类问题的解决5.数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理【知识应用通关】1.已知数列an的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列，则a1()A1B2 C3D4【答案】B【解析】由Sn2ana1，知Sn12an1a1(n2)，两式相减得an2an1(n2)，即数列an是以2为公比的等比数列又a1，a21，a3成等差数列，a1a32(a21)，a1
26、4a12(2a11)，解得a12.故选B.2.已知等差数列an的各项均为正数，a11，且a3，a4，a11成等比数列若pq10，则apaq()A14B15 C16D17【答案】B3.已知数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值【答案】（1）2n1（2）1或2【解析】(1)根据已知a11，an1an2，所以数列an是一个等差数列，an2n1.(2)数列an的前n项和Snn2.等比数列bn中，b1a11，b2a23，所以q3，bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn即n2，又nN*，所以n1或2. 4.已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)且f(1).(1)当nN*时，求f(n)的表达式；(2)设annf(n)，nN*，求证：a1a2a3an2.【答案】（1）n(nN*)（2）证明：由(1)得annn，设Tna1a2a3an1an，则Tn12233(n1)n1nn，所以Tn1223(n2)n1(n1)nnn1，所以由得Tn23n1nnn1nn11nnn11， 所以Tn22，即a1a2a3an1an2.