1、专题检测（三）不等式与合情推理 一、选择题1(2019石家庄市质量检测)已知 a0b，则下列不等式一定成立的是()Aa2ab B|a|1bD 12a 12b解析：选 C 法一：当 a1，b1 时，满足 a0b，此时 a2ab，|a|b|，12a0b，ba0，ab0，1a1b一定成立故选 C.法二：a0b，1a01b，1a1b一定成立故选 C.2已知不等式 x22x30 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，不等式 x2axb0 的解集为 AB，则 ab()A1B0C1D3解析：选 D 由题意得，不等式 x22x30 的解集 A(1，3)，不等式 x2x60的解集 B(3,2)，所以
2、AB(1,2)，即不等式 x2axb0 的解集为(1,2)，所以 a1，b2，所以 ab3.故选 D.3已知 aR，不等式x3xa1 的解集为 p，且2p，则 a 的取值范围为()A(3，)B(3,2)C(，2)(3，)D(，3)2，)解析：选 D 2p，232a1 或2a0，解得 a2 或 a0，b0，abab，则 ab 的最小值为()A2B4C6D8解析：选 B 法一：由于 ababab24，因此 ab4 或 ab0(舍去)，当且仅当ab2 时取等号故选 B.法二：由题意，得1a1b1，所以 ab(ab)1a1b 2abba224，当且仅当ab2 时取等号故选 B.法三：由题意知 a bb
3、1(b1)，所以 ab bb1b2b1 1b1224，当且仅当 ab2 时取等号故选 B.7已知函数 f(x)x2ax，x0，2x1，x0，若不等式 f(x)10 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为()A(，0)B2,2C(，2D0,2解析：选 C 由 f(x)1 在 R 上恒成立，可得当 x0 时，2x11，即 2x0，显然成立；又 x0 时，x2ax1，即为 ax21xx1x，由 x1x2x1x2，当且仅当 x1 时，取得最小值 2，可得 a2，综上可得实数 a 的取值范围为(，2故选 C.8(2019赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：
4、“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“我不应负主要责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是()A甲B乙C丙D丁解析：选 A 假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；假定乙说的是真话，则丁说“我不应负主要责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；假定丙说的是真话，则甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话综上可得，丁说的是真话，甲、乙、丙三人说的均为假话，即乙、丙、丁不应负主要责任，
5、甲负主要责任故选 A.9(2019江西八所重点中学联考)已知实数 x，y 满足xy10 xy10 x3，则 zxy4x1 的最小值是()A14B2C54D2解析：选 C 作出不等式组xy10，xy10，x3表示的平面区域如图中阴影部分所示目标函数 zxy4x1 1y3x1，其中y3x1表示点 P(1，3)和点(x，y)的连线的斜率结合图象得目标函数 z1y3x1在点 A 处取得最小值，由xy10，x3得x3，y2，即 A(3，2)，所以目标函数 z 的最小值为 12331 54.故选 C.10(2019大庆模拟)从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，
6、使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A2 097B2 112C2 012D2 090解析：选 C 当三角形在移动时，观察其规律，如果设三角形内部第一行的数为 aZ*，则第二行的数为 a7，a8，a9，其和为 3(a8)，第三行的数为 a14，a15，a16，a17，a18，其和为 5(a16)，所以这九个数的和为 Sa3(a8)5(a16)9a104，代入到各个选项中看能否算出 a 即可通过计算可得 9a1042 012 时，a212.由图示规律知 212 位于第 27 行第 4 列，符合题意故选 C.11某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种
7、产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15 万元B16 万元C17 万元D18 万元解析：选 D 设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利润 z 万元，由题意可知3x2y12，x2y8，x0，y0，z3x4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线 z3x4y 过点 M时取得最大值，由3x2y12，x2y8解得x2，y3，M(2,3)，故 z3x4y 过点 M(2,3)时取最大值，最大值 zmax324318.故选 D.12若两个正实数 x，
8、y 满足 13x3y1，且不等式 xy4n213n12 0 有解，则实数 n 的取值范围是()A.2512，1B，2512(1，)C(1，)D，2512解析：选 B 因为不等式 xy4n213n12 0 有解，所以xy4 minn213n12，因为 x0，y0，且 13x3y1，所以 xy4xy4 13x3y 13123xy y12x13122 3xy y12x2512，当且仅当3xy y12x，即 x56，y5 时取等号，所以xy4 min2512，故 n213n12 25120，解得 n2512或 n1，所以实数 n 的取值范围是，2512(1，)故选 B.二、填空题13不等式3x12x
9、1 的解集为_解析：不等式3x12x 1 可转化成3x12x 10，即4x32x 0，等价于4x3x20，2x0，解得34x2，故不等式的解集为x34 x2.答案：x34 x214若 x，y 满足约束条件xy0，2xy6，xy2，则 zx3y 的最小值是_，最大值是_解析：由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)由线性规划的知识可知，目标函数 zx3y 在点(2,2)处取得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值 zmin462，最大值 zmax268.答案：2 815(2019洛阳市统考)已知 x0，y0，且1x2y1，则
10、 xyxy 的最小值为_解析：1x2y1，2xyxy，xyxy3x2y，3x2y(3x2y)1x2y 76xy 2yx，且 x0，y0，3x2y74 3，xyxy 的最小值为 74 3.答案：74 316(2019北京高考改编)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2y21|x|y 就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是_解析：由 x2y21|x|y，当 x0 时，y1；当 y0 时，x1；当 y1 时，x0，1.故曲线 C 恰好经过 6 个整点：A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，D(1,1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确由基本不等式，当 y0 时，x2y21|x|y1|xy|1x2y22，所以 x2y22，所以x2y2 2，故正确如图，由知长方形 CDFE 面积为 2，三角形 BCE 面积为 1，所以曲线 C所围成的“心形”区域的面积大于 3，故错误答案：
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