1、2014-2015学年江苏省徐州市沛县歌风中学（如皋办学）高三（上）期中数学模拟试卷（1）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1设全集为R，集合A=x|1x4，集合B=x|x30，则A（RB）=2若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为3函数若，则f（x）的定义域是4已知向量=（，1），=（0，1），=（k，），若（2），则实数k=5数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an1，则an的通项公式为an=6已知的零点在区间（k，k+1）（kN）上，则k的值为7已知是非零向量，且它们的夹角为，若，则=8函数y=xsinx，x0，2的单调增
2、区间为9设f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2，0）（0，2，f（x）=，则f（2015）=10已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，则此函数的值域为 11设函数f（x）=2sin（x+）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f（x）的图象交于另外两点B，CO是坐标原点，则（+=12若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）0的解集为13已知函数f（x）=x2+mx|1x2|（mR），若f（x）在区间（2，0）上有且只有1个零点，则实数m的取值范围是14如图为函数f（x）=（0x1）的图象，其在点M（
3、t，f（t）处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（）求ABC的周长；（）求cos（AC）的值16已知定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=x2+2x（）求函数f（x）在R上的解析式；（）若函数f（x）在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围17已知an为等比数列，其中a1=1，且a2，a3+a5，a4成
4、等差数列（1）求数列an的通项公式：（2）设bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn18如图，半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设OB与矩形材料的边OA的夹角为，圆柱的体积为Vcm3（）求V关于的函数关系式，并写出定义域；（）求圆柱形罐子体积V的最大值19已知函数f（x）=lnx（x0）（1）求函数g（x）=f（x）x+1的极值；（2）求函数h（x）=f（x）+|xa|（a为实常数）的单调区间；（3）若不等式（x21）f（x）k（x1）2对一切正
5、实数x恒成立，求实数k的取值范围20已知函数f（x）=x3x（I）求函数y=f（x）的零点的个数；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，对任意t（1，+），s（0，1），求证：g（t）g（s）e+22014-2015学年江苏省徐州市沛县歌风中学（如皋办学）高三（上）期中数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1设全集为R，集合A=x|1x4，集合B=x|x30，则A（RB）=x|3x4考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 根据已知
6、中，全集为R，集合A=x|1x4，集合B=x|x30，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案解答： 解：集合B=x|x30=x|x3，全集为R，RB=x|x3，又A=x|1x4，A（RB）=x|3x4，故答案为：x|3x4点评： 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题2若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为3考点： 复数求模专题： 计算题分析： 先设z=a+bi，则=abi，由可得a2+b2，从而可求复数z的模解答： 解：设z=a+bi，则=abi（a+bi）（abi）=a2b2i2=a2+b2=9|z|=3故答案为：3点评： 本题主要
7、考查了复数基本概念；复数的模，共轭复数及复数的基本运算，属于基本试题3函数若，则f（x）的定义域是考点： 对数函数的定义域专题： 计算题分析： 由函数的解析式可得 0，化简可得 02x+11，由此求得f（x）的定义域解答： 解：函数，0，02x+11，解得x0，故答案为 点评： 本题主要考查求函数的定义域，对数不等式的解法，属于基础题4已知向量=（，1），=（0，1），=（k，），若（2），则实数k=1考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示专题： 平面向量及应用分析： 利用已知条件求出2，然后通过向量的平行的充要条件列出关系式，即可求出k的值解答： 解：向量=（，1），=（0，1），2=（，3
8、），=（k，），（2），解得k=1故答案为：1点评： 本题考查向量的平行条件的应用，向量的坐标运算，基本知识的考查5数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an1，则an的通项公式为an=2n1考点： 等比数列的通项公式；数列递推式专题： 综合题分析： 由Sn=2an1和Sn+1=2an+11相减得an+1=2an+12an，所以 ，由此可求出数列an的通项公式解答： 解：由Sn=2an1，得Sn+1=2an+11，二式相减得：an+1=2an+12an，数列an是公比为2的等比数列，又S1=2a11，a1=1，an=2n1故答案为：2n1点评： 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注
9、意错位相减法和递推公式的灵活运用6已知的零点在区间（k，k+1）（kN）上，则k的值为1考点： 函数的零点分析： 先画出y=ln（x+1）与y=的图象，然后关系交点所处的区间，比较区间端点的函数值是否大小发生变化，从而确定零点所在区间解答： 解：观察y=ln（x+1）与y=的图象交点位置ln21，ln3的零点在区间（1，2）上，故k=1故答案为1点评： 本题主要考查了函数的零点问题，以及对数函数与反比例函数的图象，属于基础题7已知是非零向量，且它们的夹角为，若，则=考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模专题：来源:学+科+网Z+X+X+K 计算题分析： 所示与向量同向的单位向量，故向量表示
10、两个夹角为的单位向量的和向量，由此易得向量的模的大小解答： 解：令=，=则我们易得表示与向量同向的单位向量表示与向量同向的单位向量则|=|=1，=则=+=|+|=故答案：点评： 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，向量的模，分析出表示的几何意义，即与向量同向的单位向量是解答本题的关键8函数y=xsinx，x0，2的单调增区间为（，）来源:学科网考点： 利用导数研究函数的单调性专题： 导数的概念及应用分析： 先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可解答：来源:学+科+网 解：y=cosx，令y0，即cosx，解得：x，故答案为：（，）点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基
11、础题9设f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2，0）（0，2，f（x）=，则f（2015）=考点： 函数的周期性专题： 函数的性质及应用分析： 先根据奇偶性求出b，然后根据周期性可求出a的值，从而可求出f（2015）的值解答： 解：设0x2，则2x0，f（x）=ax+b，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，所以f（x）=f（x）=ax+1=ax+b，b=1，而f（2）=f（2），2a+1=2a1，即a=，所以f（2015）=f（1）=故答案为：点评： 本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力10已知y=f（x）是定义在R上
12、的奇函数，且当x0时，则此函数的值域为考点： 指数函数综合题；函数的值域专题： 换元法；函数的性质及应用分析： 设t=，利用换元法求得当x0时函数的值域，再根据奇函数的性质求得当x0时函数的值域，然后求并集可得答案解答： 解：设t=，当x0时，2x1，0t1，f（t）=t2+t=+，0f（t），故当x0时，f（x）0，；y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x），0；故函数的值域时，点评： 本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，运用换元法求得x0时函数的值域是解答本题的关键11设函数f（x）=2sin（x+）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f（x）
13、的图象交于另外两点B，CO是坐标原点，则（+=32考点： 两角和与差的正弦函数专题： 常规题型；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析： 先画出函数f（x）=2sin（x+）在2x10上的图象，通过图象分析出点A是B、C的中点，然后根据向量的运算法则进行运算解答： 解：做出函数f（x）=2sin（x+）在2x10上的图象如图：由图象可知：图象关于点A对称，所以点A是点B与点C的中点+=2（+=2|2=242=32故答案为32点评： 本题考查了三角函数的图象与性质及向量的运算，解题的关键是通过画图分析出A点是B、C的中点12若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（，0）上是增函数，又f（2）=
14、0，则不等式xf（x+1）0的解集为（0，1）（3，1）来源:学*科*网考点： 奇偶性与单调性的综合专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论解答： 解：函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（，0）上是增函数，又f（2）=0，f（x）在（0，+）上是增函数，且f（2）=f（2）=0，当x2或2x0时，f（x）0，当x2或0x2时，f（x）0，（如图）则不等式xf（x+1）0等价为或，即或，则或，解得0x1或3x1，故不等式的解集为（0，1）（3，1），故答案为：（0，1）（3，1）点评： 本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的
15、关系是解决本题的关键13已知函数f（x）=x2+mx|1x2|（mR），若f（x）在区间（2，0）上有且只有1个零点，则实数m的取值范围是m|m或m=1考点： 函数零点的判定定理专题： 函数的性质及应用分析： 通过讨论x的范围，得出函数的解析式，由f（1）=1m，通过讨论1m的范围，结合函数的图象的性质，从而求出m的范围解答： 解：1x0时，f（x）=2x2+mx1，2x1时，f（x）=mx+1，当x=1时，f（1）=1m，当1m=0，即m=1时，符合题意，当1m0时，f（x）在（1，0）有零点，f（2）=2m+10，解得：m，当1m0，在（2，0）上，函数与x轴无交点，故答案为：m|m或m=
16、1点评： 本题考查了函数零点的判定定理，考查了分段函数，考查了分类讨论思想，是一道中档题14如图为函数f（x）=（0x1）的图象，其在点M（t，f（t）处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为（）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；压轴题来源:Z&xx&k.Com分析： 对函数求导可得，根据导数的几何意义先写出过点M的切线方程为y=，进而可得面积S=，令g（t）=（0t1），要使PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，通过=研究函数函数g（t）在（0，1）上
17、的单调性，结合函数的图象进行求解解答： 解：对函数求导可得，由题意可得M（t，），切线的斜率k=过点M的切线方程为y=则可得l=l令g（t）=（0t1）=函数g（t）在（）单调递增，在单调递减由于，PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，根据函数的图象可知来源:Zxxk.Com故答案为：点评： 本题主要考查了导数的几何意义的应用：求切线方程；利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，解决本题的关键是构造函数g（t），通过研究该函数的性质，给出相应的函数的图象，从而进行求解二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把
18、答案写在答题纸的指定区域内15设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（）求ABC的周长；（）求cos（AC）的值考点： 余弦定理；两角和与差的余弦函数专题： 计算题分析： （I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求
19、的式子，把各自的值代入即可求出值解答： 解：（I）c2=a2+b22abcosC=1+44=4，c=2，ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5（II）cosC=，sinC=sinA=ac，AC，故A为锐角则cosA=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=+=点评： 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题16已知定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=x2+2x（）求函数f（x）在R上的解析式；（）若函数f（x）在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围考点： 奇偶性与单调性的综合专题： 函数的性质及应用分析：
20、（）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围解答： 解：（）设x0，则x0，f（x）=（x）2+2（x）=x22x又f（x）为奇函数，所以f（x）=f（x）且f（0）=0于是x0时f（x）=x2+2x所以f（x）=（）作出函数f（x）=的图象如图：则由图象可知函数的单调递增区间为1，1要使f（x）在1，a2上单调递增，（画出图象得2分）结合f（x）的图象知 ，所以1a3，故实数a的取值范围是（1，3点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键来源:Zxxk.Com17已知
21、an为等比数列，其中a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列（1）求数列an的通项公式：（2）设bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn考点： 数列的求和；等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由已知条件，利用等比数列的通项公式和等差数列的性质求出等比数列的公比，由此能求出数列的通项公式（2）由数列的通项公式和bn=（2n1）an，求出bn=（2n1）（）n1，由此利用错位相减求和法能求出数列bn的前n项和Tn解答： 解：（1）设在等比数列an中，公比为q，a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列，来源:学科网ZXXK2（a3+a5）=a2+a4，2（q2+q
22、4）=q+q3，解得q=，an=（2），bn=（2n1）an=（2n1）（）n1，得：（2n1）=1+21（）n1（2n1）（）n=3，点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列、等差数列的性质，注意错位相减法的合理运用18如图，半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设OB与矩形材料的边OA的夹角为，圆柱的体积为Vcm3（）求V关于的函数关系式，并写出定义域；（）求圆柱形罐子体积V的最大值考点： 函数模型的选择与应用
23、专题： 导数的综合应用分析： （）由已知条件寻找数量间的等式关系，由此能求出圆柱的体积V关于的函数关系式（）令t=sin，t（0，1），cos2=1t2，f（t）=，t（0，1），f（x）=，由此利用导数性质能求出体积的最大值解答： 解：（）半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，设OB与矩形材料的边OA的夹角为，圆柱的体积为V cm3V（）=，0（）令t=sin，t（0，1），cos2=1t2，f（t）=，t（0，1），由f（t）=0，得t=，或t=（舍），由f（t）0，得0t；由f（t）0，得f（t）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，即当t=时，体积V取得
24、最大值Vmax=cm3点评： 本题考查V关于的函数关系式的求法，考查函数的定义域的求法，考查圆柱形罐子体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用19已知函数f（x）=lnx（x0）（1）求函数g（x）=f（x）x+1的极值；（2）求函数h（x）=f（x）+|xa|（a为实常数）的单调区间；（3）若不等式（x21）f（x）k（x1）2对一切正实数x恒成立，求实数k的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 综合题；导数的概念及应用分析： （1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=f（x）x+1的极值；（2）求
25、导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数h（x）=f（x）+|xa|（a为实常数）的单调区间；（3）注意：适当变形后研究函数h（x）；当k2时，区间（1，k1）是如何找到的解答： 解：（1）g （x）=lnxx+1，g（x）=1=，当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0，可得g （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故g （x）有极大值为g （1）=0，无极小值（2）h（x）=lnx+|xa|当a0时，h（x）=lnx+xa，h（x）=1+0恒成立，此时h（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，h（x）=当xa时，h（x）=lnx+xa，h（x）=1+0恒成立，此时h（
26、x）在（a，+）上单调递增；当0xa时，h（x）=lnxx+a，h（x）=1=当0a1时，h（x）0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；当a1时，当0x1时h（x）0，当1xa时h（x）0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减综上，当a1时，h（x）的增区间为（0，+），无减区间；当a1时，h（x）增区间为（0，1），（a，+）；减区间为（1，a）（3）不等式（x21）f （x）k（x1）2对一切正实数x恒成立，即（x21）lnxk（x1）2对一切正实数x恒成立当0x1时，x210；lnx0，则（x21）lnx0；当x1时，x210；lnx0，则（x21）lnx0
27、因此当x0时，（x21）lnx0恒成立又当k0时，k（x1）20，故当k0时，（x21）lnxk（x1）2恒成立下面讨论k0的情形当x0且x1时，（x21）lnxk（x1）2=（x21）lnx设h（x）=lnx（ x0且x1），h（x）=记=4（1k）24=4（k22k）当0，即0k2时，h（x）0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，+）上单调递增于是当0x1时，h（x）h（1）=0，又x210，故（x21）h（x）0，即（x21）lnxk（x1）2当x1时，h（x）h（1）=0，又x210，故（x21）h（x）0，即（x21）lnxk（x1）2又当x=1时，（x21）lnx=k（x1）2因
28、此当0k2时，（x21）lnxk（x1）2对一切正实数x恒成立当0，即k2时，设x2+2（1k）x+1=0的两个不等实根分别为x1，x2（x1x2）函数（x）=x2+2（1k）x+1图象的对称轴为x=k11，又（1）=42k0，于是x11k1x2故当x（1，k1）时，（x）0，即h（x）0，从而h（x）在（1，k1）在单调递减；而当x（1，k1）时，h（x）h（1）=0，此时x210，于是（x21）h（x）0，即（x21）lnxk（x1）2，因此当k2时，（x21）lnxk（x1）2对一切正实数x不恒成立综上，当（x21）f （x）k（x1）2对一切正实数x恒成立时，k2，即k的取值范围是（，
29、2点评： 本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想第三问比较难，两个注意：适当变形后研究函数h（x）；当k2时，区间（1，k1）是如何找到的20已知函数f（x）=x3x（I）求函数y=f（x）的零点的个数；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，对任意t（1，+），s（0，1），求证：g（t）g（s）e+2考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 综合题；导数的综合应用分析： （）易知x=0是y=f（x）的零点，从而x0时，f（x）=x（x21），设（x）=，利用导数及零点判定定理可求函数零点个数；（）化简得g（x）=lnx+
30、，其定义域是（0，1）（1，+），求导得g（x）=，令h（x）=x2（2+a）x+1，则问题转化为h（x）=0有两个不同的根x1，x2，从而=（2+a）240，且一根在（0，）内，不妨设0x1，再由x1x2=1，得0x1ex2，根据零点判定定理可知只需h（）0，由此可求a的范围；（）由（）可求y=g（x）在（1，+）内的最小值为g（x2），y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x1），由（）同时可知x1+x2=2+a，x1x2=1，x2（e，+），故g（t）g（s）g（x2）g（x1）=lnx2+=（x2e），令k（x）=lnx2+x=2lnx+x，利用导数可判断k（x）在（e，+）内单调递
31、增，从而有k（x）k（e），整理可得结论；解答： 解：（）f（0）=0，x=0是y=f（x）的一个零点，当x0时，f（x）=x（x21），设（x）=，（x）=2x+0，（x）在（0，+）上单调递增又（1）=10，（2）=30，故（x）在（1，2）内有唯一零点，因此y=f（x）在（0，+）内有且仅有2个零点；（）g（x）=+lnx=+lnx=lnx+，其定义域是（0，1）（1，+），则g（x）=，设h（x）=x2（2+a）x+1，要使函数y=g（x）在（0，）内有极值，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，=（2+a）240，得a0或a4，且一根在（0，）内，不妨设0x1，又x1x2=1，0x
32、1ex2，由于h（0）=1，则只需h（）0，即+10，解得ae+2；（）由（）可知，当x（1，x2）时，g（x）0，g（x）递减，x（x2，+）时，g（x）0，g（x）递增，故y=g（x）在（1，+）内的最小值为g（x2），即t（1，+）时，g（t）g（x2），又当x（0，x1）时，g（x）0，g（x）单调递增，x（x1，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，故y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x1），即对任意s（0，1），g（s）g（x1），由（）可知x1+x2=2+a，x1x2=1，x2（e，+），因此，g（t）g（s）g（x2）g（x1）=lnx2+=（x2e），设k（x）=lnx2+x=2lnx+x，k（x）=+1+0，k（x）在（e，+）内单调递增，故k（x）k（e）=2+e，即g（t）g（s）e+2点评： 本题考查利用导数研究函数的零点、极值、最值，考查转化思想，考查学生综合运用数学知识分析解决问题的能力，综合性强，能力要求比较高