1、第十一章 概率与统计第 讲（第一课时）考 点搜 索数学期望、方差、标准差的计算公式期望与方差的基本性质，二项分布的期望与方差公式高 考猜 想1.以实际问题为背景，求随机变量的期望与方差.2.利用期望和方差对实际问题进行决策与比较.1.若离散型随机变量的概率分布为则称E=_为数学期望或平均数、均值，数学期望又简称期望.x1x2xnPP1P2Pnx1p1+x2p2+xnpn+2.如果离散型随机变量所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别为p1，p2，pn，则称D=叫做随机变量的方差.D的算术平方根D叫做随机变量的_，记作_.(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+
2、标准差3.期望与方差的基本性质：(1)E(a+b)=_，D(a+b)=_;(2)若B(n，p)，则E=_，D=_.aE+b a2D np np(1-p)1.设投掷1颗骰子的点数为，则()A.E=3.5，D=3.52B.E=3.5，D=C.E=3.5，D=3.5D.E=3.5，D=B35123516解：可以取1，2，3，4，5，6.P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=16，所以D=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)21111111234563.5666666E ，117.535.66122.
3、设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为，则下列结论正确的是()A.E=0.1B.D=0.1C.P(=k)=0.01k0.9910-kD.P(=k)=解：B(n，p)，E=100.01=0.1，P(=k)=A10100.990.01kkkC10100.990.01kkkC3.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1、2，已知E1=E2，D1D2，则自动包装机的质量较好.解：E1=E2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样；D1D2说明甲机包装重量的差别大，不稳定，所以乙机质量好.乙题型1 利用基本公式求数学期望1.(1)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这
4、3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响.设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求的分布列及数学期望;(2)把4个球随机地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E.分析：第(2)小题中每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，所以总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为，所以；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为所以.同样可分析得出P(=2)，P(=3).解：(1)分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”为事件A、B、C，由已知A、B、C相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(C)
5、=0.6.444!A 44!6(0)464P 123443C C A，36(1)64P 据题意，的可能取值为1，3.其中P(=3)=P(ABC)+P()=20.40.50.6=0.24.P(=1)=1-0.24=0.76.所以E=10.76+30.24=1.48.(2)的所有可能的取值为0，1，2，3.1234443444636(0)(1)464464C C AAPP，22212144442444211(2)(3).464464C CC C ACPP，所以的分布列为所以点评：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.计算数学期望可以在求得分布列后，直接按公式计
6、算即可.0123P16421646643664636211810123.6464646464E 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1)X的分布列；(2)X的数学期望.解：(1)X的所有可能取值为0，10，20，50，60.32121223972901010001991924310;101010101010001191820;10101010009191150;60.1010
7、1000101000P XP XCP XCP XP X；故X的分布列为(2)X010205060P7291000243100018100091000110007292431801020100010001000EX 9150603.3().10001000元题型2 求二项分布的数学期望2.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望.1 1 12 3 6、解:记第i名工人选择的项目属于基础设施
8、工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci，i=1，2，3.由题意知A1,A2,A3相互独立，B1,B2,B3相互独立，C1,C2,C3相互独立，Ai,Bj,Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.121316解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知B(3，)，且=3-.所以1331322321330311(0)(3)327122(1)(2)339124(2)(1)33928(3)(0).327PPCPPCPPCPPC；故的分布列为的数学期望0123P8274929127124801232.2799
9、27E 解法2：第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i=1,2,3，由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)=所以B(3,),即112,263233321()0,1,2,3.33kPkCkkk ，故的分布列为的数学期望点评：若随机变量服从二项式分布时，可由二项分布的期望计算公式(若B(n，p)，则E=np)更简便的求得期望.0123P8274929127124801232.279927E 为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”“QQ音乐”“QQ读书”等市场调查表明，QQ用户在选择以上三
10、种应用时，选择 农 场、音 乐、读 书 的 概 率 分 别为、，现有甲、乙、丙三位QQ用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；(2)记为三人中选择的应用是“QQ农场”或“QQ音乐”的人数，求的分布列与数学期望121316解：记第i名用户选择的应用是“QQ农场”“QQ音乐”“QQ读书”分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，且Ai，Bj，Ck(i，j，k=1,2,3且i，j，k互 不 相 同)相 互 独 立，且 P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.(1)他们
11、选择的应用互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=.12131616解：(2)设3位用户选择的应用是“QQ读书”的人数是，由已知B(3，)，且=3-，16题型3 利用分解与合成原理求数学期望 3.甲、乙两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，甲队队员是A1，A2，A3，乙队队员是B1，B2，B3.根据以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：A1胜B1的概率为，A2胜B2的概率为，A3胜B3的概率为，按上述对阵方式出场，每场比赛胜队得1分，负队得0分，设甲、乙两队最后所得总分分别为、，求E、E.232525解法1：根据题意，的可能取值为3，2，1，0，
12、且+=3.所以2228(3)3557522323212228(2)3553555557523312313230(1)355355355751339(0).35575PPPP，828309110223210.757575757515E 因为=-+3，所以解法2：设甲队队员Ai(i=1，2，3)每场的得分为i，则=1+2+3.因为1的可能取值为1，0，且222333.1515EE 1121(1)(0)33PP，所以同理所以121210.333E 223210555E ，323210555E .123123()22222.355152223(3)33.1515EEEEEEEE点评：如果两个随机变量、
13、满足一定的关系式：=a+b，则E(a+b)=aE+b，利用这个公式可方便快捷地求相关随机变量的期望.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图(例如：ACD算作两个路段，其中路段AC、CD发生堵车事件的概率分别为).若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望E.1110 15，解：设1、2、3分别为路段AC、CF、FB中遇到堵车的次数，则其可能取值都为1，0，且=1+2+3.因为所以12319110101010317310202020111110121212EEE ，123123()1311.1020123EEEEE1.对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.(2)E是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而E是不变的，它描述E取值的平均状态.(3)E=x1p1+x2p2+xnpn+直接给出了E的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.2.对比较复杂的随机变量，可考虑把它拆成几个比较简单的随机变量之和，再把它们的期望相加，就可求得原随机变量的期望.这是期望的分解原理，可避免繁杂的计算.