1、河南省郑州市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1.若复数 ，则 （ ） A.B.3C.D.52.已知函数 的导函数是 ，且满足 ，则 （ ） A.-2B.0C.1D.23.已知随机变量的分布列如表则实数的值为（）012A.B.C.D.4.下列四个命题： 两个变量相关性越强则相关系数 就越接近于1；两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；在回归模型中，相关指数 表示解释变量 对于预报变量 的贡献率， 越接近于1，表示回归效果越好；在独立性检验中，随机变量 的观测值 越小，判断“ 与 有关系”的把握程度越大其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2
2、C.3D.45.校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（ ）种不同的站法. A.2B.6C.12D.246.用反证法证明命题：若 ，则 ，应提出的假设为（ ） A. ， 至少有一个不等于1B. ， 至多有一个不等于1C. ， 都不等于1D. ， 只有一个不等于17.“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金下表记录了第年（2016年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金（）万元23453.5444.5A.4.25B.5
3、.25C.5.65D.4.758.2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布 据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（ ） A.B.C.D.9.九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A.12B.18C.24D.3010.如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而
4、来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来依次类推，第 个图形是由正 边形“扩展”而来，其中 ，那么第8个图形共有_个顶点（ ） A.72B.90C.110D.31211.若函数 在区间 上有最大值，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.12.已知函数 （ 是自然对数）在定义域 上有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、填空题（共4题；共20分）13.平面内一点 到直线 ： 的距离为： 由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为_ 14.已知 是不相等的两个实数，且 在方程 所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在 轴上的双曲线的概率为_ 15.2021年7月1日是中国共产
5、党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成_个不同的六位数 16.已知关于 的方程 在 上有解，则实数 的取值范围是_ 三、解答题（共6题；共70分）17.已知复数 （1）当实数 取什么值时，复数 是纯虚数； （2）当实数 取什么值时，复平面内表示复数 的点位于第一、三象限 18.在二项式 的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 （1）求 的值； （2）求展开式中所有的有理项 19.已知数列 满足：
6、， ， （1）计算 ， ， 的值； （2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明 20.已知函数 （1）当 时，求函数 的极值； （2）讨论函数 的单调性 21.2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人（1）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？喜欢不喜欢总计男生40女生
7、20总计160（2）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记为参加活动的同学中获奖的女生人数，求的分布列及数学期望附：P（K2k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，22.已知函数 ， ，其中 （1）若曲线 在 处的切线斜率为 ，求 的值； （2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
8、范围 答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.若复数 ，则 （ ） A.B.3C.D.5【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模 【解析】【解答】 . 故答案为：C 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。2.已知函数 的导函数是 ，且满足 ，则 （ ） A.-2B.0C.1D.2【答案】 A 【考点】导数的运算 【解析】【解答】 ，则 ，所以， ，解得 . 故答案为：A. 【分析】根据题意对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式计算出结果即可。3.已知随机变量的分布列如表则实数的值为（）012A.B.C.D.【答案】 B 【考点】离散型
9、随机变量及其分布列 【解析】【解答】依题意 . 故答案为：B 【分析】由题意结合分布列的性质计算出结果即可。4.下列四个命题： 两个变量相关性越强则相关系数 就越接近于1；两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；在回归模型中，相关指数 表示解释变量 对于预报变量 的贡献率， 越接近于1，表示回归效果越好；在独立性检验中，随机变量 的观测值 越小，判断“ 与 有关系”的把握程度越大其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】 B 【考点】两个变量的线性相关，线性回归方程，独立性检验的应用，可线性化的回归分析 【解析】【解答】（1），两个变量相关性越强则相关系数 的绝对值就越
10、接近于1，所以（1）错误. （2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，正确.（3），在回归模型中，相关指数 表示解释变量 对于预报变量 的贡献率， 越接近于1，表示回归效果越好，正确.（4），在独立性检验中，随机变量 的观测值 越大，判断“ 与 有关系”的把握程度越大，所以（4）错误.故答案为：B 【分析】由已知条件即可分析： 根据相关指数R2的性质进行判断、根据相关关系数的性质进行判断根据残差的性质进行判断根据随机变量K2的观测值k的关系进行判断。 5.校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（ ）种
11、不同的站法. A.2B.6C.12D.24【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】先安排男生,方法有 ，再安排女生,方法有 ，所以不同的方法数有 . 故答案为：C 【分析】根据题意由排列组合以及计数原理代入数值计算出结果即可。6.用反证法证明命题：若 ，则 ，应提出的假设为（ ） A. ， 至少有一个不等于1B. ， 至多有一个不等于1C. ， 都不等于1D. ， 只有一个不等于1【答案】 A 【考点】反证法 【解析】【解答】用反证法证明命题：若 ，则 ，应提出的假设为“ ， 至少有一个不等于1”. 故答案为：A 【分析】根据题意由命题的定义即可得出 ， 再由反证法假设
12、为“ ， 至少有一个不等于1”，结合题意即可得出答案。7.“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金下表记录了第年（2016年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金（）万元23453.5444.5A.4.25B.5.25C.5.65D.4.75【答案】 D 【考点】线性回归方程 【解析】【解答】 ， 所以 ，所以 ，当 时， （万元）.故答案为：D 【分析】由已知条件代入公式计算出样本中心点的坐标，再把数值代入到线性回归方程计算出答案即可。8.2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测
13、对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布 据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】数学成绩近似地服从正态分布 ，抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为 ，所求概率 . 故答案为：D. 【分析】由正态分布的性质结合题意即可求出成绩超过96分的概率，再把数据代入n次独立重复试验概率公式计算出结果即可。9.九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校
14、交流学习现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A.12B.18C.24D.30【答案】 D 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】依题意不同的分配方案种数为 . 故答案为：D 【分析】由排列组合以及计数原理计算出结果即可。10.如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来依次类推，第 个图形是由正 边形“扩展”而来，其中 ，那么第8个图形共有_个顶点（ ） A.72B.90C.110D.312【答案】 C 【考点】归纳推理 【
15、解析】【解答】第个顶点12345678故答案为：C【分析】根据题意由已知图形，可以列出顶点个数与多边形边数n，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理推断出规律，代入数据计算出结果即可。11.若函数 在区间 上有最大值，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合 【解析】【解答】因为函数 ，所以 ， 当 或 时， ，当 时， ，所以当 时， 取得最大值，又 ，且 在区间 上有最大值，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 故答案为：D 【分析】首先对函数求导结合x的取值范围，即可得出导函数的正负由此得出函数的单调性，
16、由函数的单调性就求出函数的最值，结合题意即可得出 在区间 上有最大值，从而得到关于a的不等式 ， 求解出a的取值范围即可。12.已知函数 （ 是自然对数）在定义域 上有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】利用导数研究函数的单调性，函数的零点 【解析】【解答】当 时，由 ， 当 时，由 ，令 ， ，当 时， 递减，当 时， 递增， ，所以当 时， 在区间 上有两个零点，由于 在 上有三个零点，所以 .综上所述， 的取值范围是 .故答案为：C 【分析】由已知条件即可得出 ， 令对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性以及零点的定义即可得出
17、关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。二、填空题（共4题；共20分）13.平面内一点 到直线 ： 的距离为： 由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为_ 【答案】【考点】点到直线的距离公式，点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】平面内一点 到直线 ： 的距离为： 由此类比，空间中一点 到平面 的距离为： .所以空间中一点 到平面 ： 的距离为 .故答案为： 【分析】根据题意由点到直线的距离公式结合题意，再由点到平面的结论公式计算出结果即可。14.已知 是不相等的两个实数，且 在方程 所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在 轴上的双曲线的概率为_ 【答案】【考点】列举法计算基本事件数及事件
18、发生的概率 【解析】【解答】方程 表示的所有曲线共有： 种； 若表示焦点在 轴上的双曲线，则 ， ，共有： 种；所求概率 .故答案为： . 【分析】首先由题意求出曲线的种数，再由双曲线的性质求出焦点在 轴上的双曲线的种数，然后由概率公式代入数值计算出结果即可。15.2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成_个不同的六位数 【答案】 150 【考点】排列、组合及简单计数问题
19、【解析】【解答】依题意可组成不同的六位数有 . 故答案为：150 【分析】根据题意由排列组合以及计数原理计算出结果即可。16.已知关于 的方程 在 上有解，则实数 的取值范围是_ 【答案】【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合 【解析】【解答】由 得 ，所以 ， 令 ，则 ，又 在 内单调递增，设 为 根，即 满足 ，则 ，两边取对数，得 ，因为 ，所以当 时， ；当 时， ，所以 在 内单调递减，在 内单调递增，且 时， ，又 ，所以当 时， 有解，即关于 的方程 在 上有解.故答案为： . 【分析】根据题意对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函
20、数的单调性结合a的取值范围由分离参数的方法即可得出 的方程 在 上有解，由此得出a的取值范围。三、解答题（共6题；共70分）17.已知复数 （1）当实数 取什么值时，复数 是纯虚数； （2）当实数 取什么值时，复平面内表示复数 的点位于第一、三象限 【答案】 （1）当复数 是纯虚数时，有 ，解得 所以当实数 时，复数 是纯虚数（2）当表示复数 的点位于第一、三象限时，有 ，解得 或 ， 所以当实数 时，表示复数 的点位于第一、三象限【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【分析】(1)根据题意由复数的概念即可计算出m的值。 (2)由复数代数形式的几
21、何意义整理即可得到关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。18.在二项式 的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 （1）求 的值； （2）求展开式中所有的有理项 【答案】 （1）展开式的通项为： ， 依题可得： ，解得 （2）由（1）知，展开式中的第1，3，5，7项为有理项，且 ， ， ，【考点】组合及组合数公式，二项式定理 【解析】【分析】(1)根据题意由二项式的通项公式，整理即可得出 ， 由组合数的计算公式计算出结果即可。 (2)由(1)的结论代入数值计算出结果即可。19.已知数列 满足： ， ， （1）计算 ， ， 的值； （2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明 【答案】 （1
22、）依题意， ， ， ， ， .（2）由（1）猜想： 证明：当 时， ，猜想成立；假设当 时猜想成立，即 ，那么，依题可得 所以，当 时猜想成立根据和，可知猜想对任何 都成立【考点】数列递推式，数学归纳法 【解析】【分析】(1)由数列的递推公式整理即可得出答案。 (2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由归纳假设法猜想即可得出答案。 20.已知函数 （1）当 时，求函数 的极值； （2）讨论函数 的单调性 【答案】（1）当时，定义域为，令，解得，或当变化时，的变化情况如下表：200单调递增单调递减单调递增当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为（2）函数定义域为，令得或若，则
23、当时，单调递减；当时，单调递增若，即，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.若，即，则当时，单调递增，若，即，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，递减区间是；当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)首先由a的值得到函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性以及极值的定义即可得出答案。 (2)根据题意首先求出函数的定义域，再对其求
24、导结合a的取值范围即可得出导函数的正负，由此即可得出函数的单调性以及单调区间。 21.2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人（1）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？喜欢不喜欢总计男生40女生20总计160（2）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖
25、活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记为参加活动的同学中获奖的女生人数，求的分布列及数学期望附：P（K2k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，【答案】（1）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的女生有60人故列联表为：喜欢不喜欢总计男生404080女生602080总计10060160故能在犯错误概率不超过0.005
26、的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关（2），的分布列为23456【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。 (2)根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率由此得到的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。22.已知函数 ， ，其中 （1）若曲线 在 处的切线斜率为 ，求 的值； （2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 【答案】 （1）依题可得 ，且 ， （2）由题设知 ，即 ， 整理得 ，设 ，则上式即为 ，令 得 当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减又当 时， ， 只需 ，即 ，设 ，则 令 得 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减 【考点】函数单调性的性质，导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，再把数值代入导函数的解析式得到 ， 由此计算出a的值。 (2)由已知条件即可得出 ， 整理得到 ， 设即对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，进而得到即 ， 构造函数对其求导结合导函数的性质得出函数的单调性，由函数的单调性整理即可得到 ， 从而得到a的取值范围。