1、1.1.1集合及其表示方法(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义于是他请教一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？”由于
2、集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚直到有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素(3)表示：通常用英文大写字母A，B，C，表示集合，用英文小写字母a，b，c，表示集合中的元素知识点二 元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于A”(2)“不属于”：如果a不是集合
3、A的元素，就记作aA，读作“a不属于A”知识点三 空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集(empty set)，记作.知识点四 集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性知识点五 集合的分类(1)有限集；(2)无限集知识点六 几个常用数集的固定字母表示知识点七 集合的表示方法集合常见的表示方法有：自然语言、列举法、描述法、“区间”(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集
4、合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为x|p(x)这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法知识点八 区间实数集R可以用区间表示为(，)，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”我们可以把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b)可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【新知拓展】1元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中
5、的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可此时应先明确集合是由哪些元素构成的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件2集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集
6、合的一个元素3使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合()(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么aA，要么aA，二者必居其一且只居其一()(3)对于数集A1,2，x2，若xA，则x0.()(4)对于区间2a，a1，必有a0.()(5)集合y|yx2，xR与s|st2，tR的元素完全相同()答案(1)
7、(2)(3)(4)(5)2做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是()A“金砖国家”成员国 B接近1的数C著名的科学家 D漂亮的鲜花(2)用适当的符号(，)填空0_，0_0,0_N，2_N*，_Z，_Q，_R.(3)不等式2x13的解集可以用区间表示为_答案(1)A(2)(3)2，)题型一 集合概念的理解例1下列所给的对象能构成集合的是_所有的正三角形；高一数学必修第一册课本上的所有难题；比较接近1的正数全体；某校高一年级的全体女生；平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；参加2019年世乒赛的年轻运动员；a，b，a，c.解析能构成集合其中的元素需满足三条边相等不能构成集合因“难题”的标
8、准是模糊的，不确定的，故不能构成集合不能构成集合因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合能构成集合其中的元素是“高一年级的全体女生”能构成集合其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”不能构成集合因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合不能构成集合因为两个a是重复的，不符合集合元素的互异性答案金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性判断下列说法是否正确？并说明理由(1)大于3的所有自然数组成一个集
9、合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误(3)中由于0.5，不符合集合中元素的互异性，故错误(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确.题型二 元素与集合关系的判断与应用例2(1)下列所给关系正确的个数是()R；Q；0N*；|4|N*.A1 B2 C3 D4(2)集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_解析(1)是实数，是无理数，正确；N*表示正整数集，而0
10、不是正整数，故不正确；又|4|4是正整数，故不正确，正确的共有2个(2)N，xN，即0x6，x0,1,2,3,4,5.当x分别为0,3,4,5时，相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5.答案(1)B(2)0,3,4,5金版点睛1.常用数集之间的关系2.确定集合中元素的三个注意点(1)判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性.(2)集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性.(3)若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.(1)用符号“”或“”填空0_N*；1_N；1.5_Z；2_Q；4_R；若x210，则x
11、_R.(2)设xR，集合A中含有三个元素3，x，x22x.求实数x应满足的条件；若2A，求实数x的值答案(1)(2)见解析解析(1)0不是正整数，0N*.1是自然数，1N.1.5是小数，不是整数，1.5Z.2是无理数，2Q.4是无理数，无理数是实数，4R.满足x210的实数不存在，x为非实数，xR.(2)根据集合元素的互异性，可知即x0，且x3且x1.x22x(x1)211，且2A，x2.题型三 集合中元素的特性例3已知集合A有三个元素：a3,2a1，a21，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若3A，求a的值；(2)若x2B，求实数x的值解(1)由3A且a211，可知a33或2a13，当a
12、33时，a0；当2a13时，a1.经检验，0与1都符合要求得a0或1.(2)当x0,1，1时，都有x2B，但考虑到集合元素的互异性，x0，x1，故x1.金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用已知集合A包含三个元素：a2,2a25a,12，且3A，求a的值解因为A包含三个元素a2,2a25a,12，且3A，所以a23或2a25a3，解得a1或a.当a1时，A中三个元素为：3，3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去当a时，
13、A中三个元素为：，3,12，满足题意故a.题型四 集合的分类例4下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集(1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x21)(x22x1)0的解集；(5)在实数范围内方程组的解构成的集合解(1)能构成集合，是无限集(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是1，1，是有限集
14、(5)由x2x10的判别式30，方程无实根，由此可知方程组无解，能构成集合，是空集金版点睛集合的分类方法判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于3的实数；(6)15的正约数解(1)中对象能组成集合，它是一个有限集；(2)中对象能组成集合，它是一个无限集；(3)中对象能组成集合，它是一个无限集；(4)中对象能组成集合，它是一个无限集；(5)中对象能组成集
15、合，它是一个空集；(6)中对象能组成集合，它是一个有限集.题型五 用列举法表示集合例5用列举法表示下列集合：(1)方程0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的质数集；(3)一次函数yx与y2x1图像的交点组成的集合解(1)方程0的实数根为2，故其实数根组成的集合为2(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为2,3,5,7(3)由解得故一次函数yx与y2x1图像的交点组成的集合为(1,1)金版点睛用列举法表示集合应注意的三点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复(3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括
16、起来表示一个元素用列举法表示下列集合：(1)不等式组的整数解组成的集合；(2)式子(a0，b0)的所有值组成的集合解(1)由得30，b0时，2；当a0，b0，b0或a0时，0.故所有值组成的集合为2,0,2.题型六 用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合；(2)所有被3除余1的整数的集合；(3)使y有意义的实数x的集合解(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为(x，y)|xy0，xR，yR(2)因为被3除余1的整数可表示为3n1，nZ，所以所有被3除余1的整数的集合为x|x3n1，n
17、Z(3)要使y有意义，则x2x60.由x2x60，得x12，x23.所以使y有意义的实数x的集合为x|x2且x3，xR金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内试用描述法表示下列集合：(1)方程x2x20的解集；(2)大于1且小于7的所有整数组成的集合解(1)方程x2x20的解可以用x表示，它满足的条件是x2x
18、20，因此，方程的解集用描述法表示为xR|x2x20(2)大于1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是xZ，且1x7，因此，该集合用描述法表示为xZ|1x7.题型七 列举法和描述法的综合运用例7集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解当k0时，原方程为168x0，x2，此时A2，符合题意当k0时，由集合A中只有一个元素，方程kx28x160有两个相等实根即6464k0，即k1，从而x1x24，集合A4综上所述，实数k的值为0或1.当k0时，A2；当k1时，A4条件探究把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合解由题
19、意可知方程kx28x160有两个不等的实根解得k1且k0.k的取值范围的集合为k|k1且k0金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解由kx28x160是否为一元二次方程而分k0和k0两种情况，注意做到不重不漏(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点(1)设集合B.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.(2)已知集合Ax|x2axb0，若A2,3，求a，b的值解(1)当x1时，2N.当x2时，N.所以1B,2B.N，xN，2x只能取2,3,6，x只能取0,1,4.B0,1,4(2)由A2,3知，
20、方程x2axb0的两根为2,3，由根与系数的关系，得因此a5，b6.题型八 集合中的新定义问题例8已知集合A1,2,4，则集合B(x，y)|xA，yA中元素的个数为()A3 B6 C8 D9解析根据已知条件，列表如下：由上表可知，B中的元素有9个，故选D.答案D金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表(含树形图)使用.定义A*Bz|zxy，xA，yB，设A1,2，B0,2，则集合A*B中的所有元素之和为()A0 B2 C3 D6答案D解析根据已知条件，列
21、表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知A*B0,2,4，故集合A*B中所有元素之和为0246，故选D.1下列所给的对象不能组成集合的是()A我国古代的四大发明B二元一次方程xy1的解C我班年龄较小的同学D平面内到定点距离等于定长的点答案C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性故选C.2已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aA时，有6aA，则a为()A2 B2或4 C4 D0答案B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当aA时，有6aA.当a2A时，6a4A，a2符合题意；当a4A时，6a2A，a4符合题意；当a6A时，6a0A，综上所述，a2或4.故选B.3由实数a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析对a进行分类讨论：当a0时，四个数都为0，只含有一个元素；当a0时，含有两个元素a，a，所以集合中最多含有2个元素故选B.4用适当符号(，)填空(1)(1,3)_(x，y)|y2x1；(2)2_m|m2(n1)，nZ答案(1)(2)解析(1)当x1时，y2113，故(1,3)(x，y)|y2x1(2)当n2Z时，m2(21)2，故2m|m2(n1)，nZ5设aR，关于x的方程(x1)(xa)0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解Ax|(x1)(xa)0，当a1时，A1；当a1时，A1，a
