1、7.4.1 二项分布 1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算;2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差;重点： n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.1.伯努利试验在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机
2、试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2) 各次试验的结果相互独立.2.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为PX=k=Cnkpk(1-p)n-k，k=0,1,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作XB(n,p).X01knp3.一般地，如果XB（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).一、 问题探究做一做:问题1.下面3个随机试验是否为n重
3、伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同?问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列. 思考1：二项分布与两点分布有何关系?思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之
4、间的联系吗？二、典例解析例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在0.4，0.6内的概率.例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。二项分布中需要注意的问题和关注点(1）当X服从二项分布时，应弄清XB(n，p）中的试验次数n与成功概率p.(2）解决
5、二项分布问题的两个关注点对于公式P(Xk）Cpk(1p）nk(k0，1，2，n），必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?探究3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，
6、不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为(）AC0.880.22 B0.880.22 CC0.280.82 D0.280.822.已知X是一个随机变量，若XB，则P(X2）等于(）AB CD3.已知XB(n，p），E(X）8，D(X）1.6，则n_，p_4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中每人答对的概率分别为，且各人答对正确与否相互
7、之间没有影响用表示甲队的总得分(1）求随机变量的分布列(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.(1）求这位司机遇到红灯数的期望与方差(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差1.二项分布的定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0pp1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.探究3：当n=1时，X服从两点分布，分布列为P(X=0)=1-
8、p,P(X=1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X) =p(1-p).2当n=2时，X的分布列为PX=0=1-p2,PX=1=2p1-p,P(X=2)=p2.均值和方差分别为E(X)=01-p2+12p（1-p）+2p2=2p.D(X)=021-p2+122p（1-p）+22p2-(2p)2=2p（1-p）.证明：P(X=k)= Cnkpkqn-k( k Cnk =n Cn-1k-1)kP(X=k)= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-kE (X) =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0
9、=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np例4. 解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数为，由题意知，4，且B(25，0.6)，则E()250.615，D()250.6(10.6)6.故E()E(4)4E()60，D()D(4)42D()96.所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.达标检测1.解析：设X为击中目标的次数，则XB(10，0.8)，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X8)C0.88(1
10、0.8)2C0.880.22.故选A.答案：A2.解析：由题意知n6，p，故P(X2)CC.故选D.答案：D3. 解析：因为随机变量XB(n，p)，所以E(X)np8，D(X)np(1p)1.6，解得p0.8，n10.4.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，所以B.P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，所以的分布列为(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，ABCD，C，D互斥P(C)C.P(D).所以P(AB)P(C)P(D).5.解析：(1)易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且B，所以E()62，D()6.(2)由已知30，所以E()30E()60，D()900D()1 200.
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