1、【学习目标】 1理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算. 2理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.【学习重点】利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等【学习难点】平面向量数量积坐标运算的灵活应用【学习过程】一、 导入新课1平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_.2两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 _.3三个重要公式(1)向量模的公式：若 a=(x,y)，则 =_.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则=_.(3)向量的
2、夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为，则cos=_.【答案】1x1x2y1y2 2x1x2y1y203(1) (2) (3) 二. 新知探究与解题研究【合作探究】1平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐标表示公式ab=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示ab？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2如何利用向量的数量积坐标表示公式推导 ？3平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与
3、b的夹角为，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当90即ab时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？【合作探究】1(1)设i，j是x轴、y轴上的单位向量，即i(1，0)，j(0，1)，则ax1iy1j，bx2iy2j，所以ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2y1y2.(2)引入向量的坐标表示后，实现了向量的数量积的运算与两向量坐标的运算的转化，从而将两者联系起来.同时向量的坐标表示与运算可以简化数量积的运算.2由向量的数量积公式的坐标表示，得a2aa(x，y)(x，y)x2y2，又向量模的坐标公式a ,得a2x2y2，所以a2a2.3(1)提示:由向量的数量积公
4、式ababcos，得 ，根据向量数量积与向量模的坐标表示，得cos .(2)根据向量夹角的坐标公式，当90时，cos90 0，x1x2y1y20，即ab x1x2y1y20.【教师点拨】 平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为.(1)夹角公式： 其作用是求两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式： .(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a0且b0.(4)因为 ，所以 . 类型一：平面向量数量积与模的坐标运算1.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(
5、1,-2),=(2,1),则= 2.已知平面向量a与b的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=2. 本题主要考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力.由a=(2,0),|b|=1,可知|a|=2,ab=|a|b|cos 60=1,又|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4+4=12,故|a+2b|=.类型二：应用数量积解决垂直与夹角问题3.已知向量，.()当时，求的值；()当时，求向量与的夹角的余弦值；()当时，求.类型三：平面向量数量积的综合运算与应用4 平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，DAB=60，M是线段DC上一点，且满足，若N为平行四边形ABCD内
6、任意一点(含边界), 则的最大值为 【解析】本题考查平面向量的数量积. 如图建立平面直角坐标系. 令则. ，令,当它过点时，三、 当堂检测1 向量，且与方向相同，则的范围是（ ） A. B. C. D.【解析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量与方向相同，我们可以判断存在实数使得：，然后根据已知条件，将条件中的等量(不等)关系转化为方程(不等式)，解方程(不等式)即可求得答案与同向，可设，则有，又，的范围是，故应选C.2. 已知中，、,为边上的高，则点的坐标为_.3.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin
7、 ,t)( 0).(1)若a,且|=|,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k4,且tsin 取最大值为4时,求.【解析】(1)=(n-8,t),a,8-n+2t=0.又|=|,564=(n-8)2+t2=5t2,得t=8.=(24,8)或=(-8,-8).(2)=(ksin -8,t),向量与a共线,t=-2ksin +16,tsin =(-2ksin +16)sin =-2k(sin -)2+,k4,10,当sin =时,tsin 取得最大值.由=4,得k=8,此时=,=(4,8),=(8,0)(4,8)=32. 四、课堂小结1求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别合有|a|,|b|与ab的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.2求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)aa= a2=|a|2或此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.五、 课后作业 107页 1、2、3
