1、3.1 导 数31.1 函数的平均变化率学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率知识点 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系A 是出发点，H 是山顶爬山路线用函数 yf(x)表示自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的坐标为(x1，y1)，点 B 的坐标为(x2，y2)思考 1 若旅游者从点 A 爬到点 B，自变量 x 和函数值 y 的改变量分别是多少？答案 自变量 x 的改变量为 x2x1，记作 x，函数值 y 的改变量为 y2y1，记作 y.思考 2 怎样用数量刻画弯曲
2、山路的陡峭程度？答案 对山路 AB 来说，用yxy2y1x2x1可近似地刻画其陡峭程度思考 3 观察函数 yf(x)的图象，平均变化率yxfx2fx1x2x1表示什么？答案 观察图象可看出，yx表示曲线 yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率梳理(1)函数的平均变化率的定义已知函数 yf(x)在点 xx0 及其附近有定义，令 xxx0；yyy0f(x)f(x0)f(x0 x)f(x0)则当 x0，比值fx0 xfx0 xyx叫做函数 yf(x)在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率(2)平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)作用：刻画函数在区间x
3、0，x0 x上变化的快慢(4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数 yf(x)的图象上两点，则平均变化率yxfx2fx1x2x1表示割线 P1P2 的斜率(1)在平均变化率的定义中，自变量 x 的增量 x0.()(2)对于函数 f(x)在区间x1，x2内的平均变化率也可以表示为fx2fx1x2x1.()(3)yxfx0 xfx0 x是 f(x)在区间x0，x0 x(x0)上的平均变化率，也可以说是 f(x)在 xx0 处的变化率()类型一 求函数的平均变化率例 1 已知函数 yf(x)3x25，求 f(x)：(1)在 0.1 到 0.2 之间的平均变化率；(2)
4、在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率考点 题点 解(1)因为 f(x)3x25，所以在 0.1 到 0.2 之间的平均变化率为f0.2f0.10.20.130.22530.1250.20.10.9.(2)yf(x0 x)f(x0)3(x0 x)25(3x205)3x206x0 x3(x)253x2056x0 x3(x)2，函数 yf(x)在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率为yx6x0 x3x2x6x03x.反思与感悟 求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量 yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量 xx2x1.(3)得平均变化率yxfx2fx1x2x1.跟踪训练 1
5、(1)已知函数 f(x)2x23x5.求：当 x14，x25 时，函数增量 y 和平均变化率yx；求：当 x14，x24.1 时，函数增量 y 和平均变化率yx.(2)求函数 yf(x)x2 在 x1,2,3 附近的平均变化率，取 x 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率解(1)因为 f(x)2x23x5，所以 yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x213x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.yx2x24x13xx2x4x13.当 x14，x25 时，x1，y2(x)2(4x13)x21921，yx21.当 x14
6、，x24.1 时，x0.1，y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.yx2x4x1319.2.(2)在 x1 附近的平均变化率为k1f1xf1x1x21x2x；在 x2 附近的平均变化率为 k2f2xf2x2x222x4x；在 x3 附近的平均变化率为k3f3xf3x3x232x6x.当 x13时，k121373，k2413133，k3613193.由于 k1k2k3，所以在 x3 附近的平均变化率最大类型二 求物体的平均速度例 2 一质点做直线运动，其位移 s 与时间 t 的关系为 s(t)t21，求该质点在 t1,2,3 附近，t13时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速
7、度最大考点 题点 解 s(t)在 t0 到 t0t 之间的位移增量为 s(t0t)s(t0)(t0t)21(t201)2t0t(t)2，st2t0tt2t2t0t，将 t01,2,3，t13分别代入上式得，当 t01 时，平均速度st73；当 t02 时，平均速度st133；当 t03 时，平均速度st193.由上面的计算知，t3 附近的平均速度最大引申探究若该质点在 2 到 2t 之间的平均速度不大于 5，则 t(t0)的取值范围是什么？解 s(t)在 t0 到 t0t 之间的位移增量为 s(t0t)s(t0)(t0t)21(t201)2t0t(t)2.st2t0tt2t2t0t.当 t02
8、 时，由题意，得 4t5，得 t1.又因为 t0，故 t 的取值范围是(0,1反思与感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在t0，t0t内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在t0，t0t内的平均变化率跟踪训练 2 动点 P 沿 x 轴运动，运动方程为 x10t5t2，式中 t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在 20t20t 时间段内动点的平均速度，其中(1)t1；(2)t0.1；(3)t0.01.考点 题点 解 动点在 20t20t 时间段内的平均速度为v 1020t520t210205202t210t5t2t5t210，(1
9、)当 t1 时，v 51210215(m/s)(2)当 t0.1 时，v 50.1210210.5(m/s)(3)当 t0.01 时，v 50.01210210.05(m/s).1一物体的运动方程是 s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4B2C0.3D0.2考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率答案 B解析 s2.1s22.12322.13220.12.2如图，函数 yf(x)在 1 到 3 之间的平均变化率为()A1B1C2D2考点 题点 答案 B解析 yx13311.3在曲线 yf(x)x22 的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2x,6y)，则yx为()Ax 1x4
10、Bx 1x4Cx4D4x 1x考点 题点 答案 C解析 yxf2xf2x2x24xx4.4将半径为 R 的球加热，若半径从 R1 到 Rm 时球的体积膨胀率为283，则 m 的值为_考点 题点 答案 2解析 V43 m343 1343(m31)，VR43 m31m1283.m2m17，m2 或 m3(舍)理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率fx2fx1x2x1表示点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”(2)为求点 x0 附近的平均变化率，上述表达式常写为fx0 xfx0 x的形式(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势自变量的改变量 x
11、 取值越小，越能准确体现函数的变化情况一、选择题1如果质点 M 按规律 s3t2 运动，则在时间2，2.1内的平均速度是()A4B4.1C0.41D3考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率答案 B解析 v 32.123220.14.1.2.甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，则治污效果较好的是()A甲B乙C相同D不确定考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 B解析 在 t0 处，虽然 W1(t0)W2(t0)，但是在 t0t 处，W1(t0t)W2(t0t)，即W1t0W1t0ttW2t0W2t0tt，所以在相同时间 t 内，甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂的治
12、污效果较好3已知函数 f(x)2x21 的图象上一点(1,1)及附近一点(1x，f(1x)，则yx等于()A4B42xC42(x)2D4x考点 题点 答案 B解析 yf(1x)f(1)2(1x)2114x2(x)2，yx4x2x2x42x.4函数 yf(x)在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率fx0 xfx0 x中，x 不可能()A大于 0B小于 0C等于 0D大于 0 或小于 0考点 题点 答案 C5函数 yf(x)x2x 在 x1 到 x1x 之间的平均变化率为()Ax2B2x(x)2Cx3D3x(x)2考点 题点 答案 C解析 yxf1xf1x1x21x121xx3.6函数 f(x)
13、x2 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率为 k1，在 x0 x 到 x0 之间的平均变化率为k2，则 k1，k2 的大小关系是()Ak1k2Bk1k2Ck1k2D无法确定考点 题点 答案 D解析 k1fx0 xfx0 x2x0 x，k2fx0fx0 xx2x0 x.又因为 x 可正可负且不为 0，所以 k1，k2 的大小关系不确定二、填空题7.汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为 v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为_(用“”连接)考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 v 1 v 2 v 3解析 v 1kOA，v 2kAB，v 3kBC，由图象知，kOAkAB0)上的平均变化率不大于1，求 x 的取值范围考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 函数 f(x)在2,2x上的平均变化率为yxf2xf2x2x22x42x3x，由3x1，得 x2.又x0，x 的取值范围是(0，)