1、浙江省2022第一学期10月统测数学试题选择题部分一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C.2 D.103.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（）A. B. C.1 D.24.甲乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝农夫山泉雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（） B. C. D.5.对于非零平面向量“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分
2、条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（）A.大于 B.等于 C.小于 D.无法确定7.设，则（）A. B. C. D.8.过抛物线上一点作其切线，该切线交准线于点，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则（）A.4 B. C.2 D.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某公司为了增加某商品的销售利
3、润，调查了该商品投入的广告费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表，由表中数据，得回归直线l：x，则下列结论正确的是（）广告费用万元3467销售利润万元681012A.0B.0C.直线必过点D.直线必过点10.若函数在区间上单调，则的取值可以是（）A.1B.C.4D.11.将两圆方程作差，得到直线的方程，则（）A.直线一定过点B.存在实数，使两圆心所在直线的斜率为C.对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直D.过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等12.已知的定义域为，且对任意，有，且当时，则（）A.B.的图象关于点中心对称C.在上不单调D.当时，非选择题部分三填空题：本题共4小
4、题，每小题5分，共20分.13.的展开式中含的项的系数为_.（用数字作答）14.已知奇函数，且成等差数列，则_.15.若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是_.（写出符合条件的一个方程即可）16.如图，在平面四边形中，且，将沿所在直线翻折，得到三棱锥，已知该三棱锥的顶点均在同一个球的表面上，则球体积的最小值为_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列的首项，且满足.（1）证明：数列是等比数列.（2）若，求正整数的最大值.18.（12分）在锐角中，内角的对边分别为，且满足.（1）证明：.（2）求的取值范围.19.（12分）盐水选种
5、是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.20.（
6、12分）如图，四棱的底面为矩形，侧面与底面垂直，点分别在侧棱上，满足.（1）证明：.（2）求二面角的正弦值.21.（12分）已知椭圆过点为其左右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）为第一象限内椭圆上的一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的值.22.（12分）已知函数，存在实数，当分别取时，有相同的极值点和极值.（1）求；（2）若，设，曲线在点处的切线与曲线交于另一点，求的取值范围.浙江强基联盟2022年10月高三试题解析1.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第1题）解析：或，故选B.2.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第2题）解析：由，得，故选C.3.（2022
7、年10月浙江强基联盟高三试题解析第3题）解析：，则，故选B4.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第4题）解析：得本题可以缩小样本空间方法解决条件概率同，在事件已经发生的情况下，有加多宝农夫山泉雪碧这3种饮品三种选择，而其中事件发生的事件为加多宝雪碧两种选择，所以，故选D5.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第5题）解析：显然能推出成立，成立，取特殊情况，且不为，显然不成立，故选A.6.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第6题）解析：设左右两臂的长度为，两次取的黄金重量为克，显然，则，消掉，可得，故选7.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第7题）解析：由可得，由切
8、线不等式可得，显然因所以，综合可得.8.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第8题）解析：设，则或舍9.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第9题）解析：由表中数据易知，又，所以直线必过点，通过数据也可观测回归直线与轴截距是大于0的，故，所以答案为.10.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第10题）解析1：，因在区间上单调，所以或将四个选项代入，时，满足，时，不满足，时，满足，当时，不满足综上可知，选解析2：或或，故选A，C11.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第11题）解析：直线的方程为：分参可得，得直线一定过点，所以错误，所以B正确，因，所以正确，选项，硬算切
9、线长，计算量相当大，这里就不写了，D正确，（高航老师说可以用根轴）以后用专题解决此问题，时间关系，这里忽略了.所以选12.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第12题）解析1：取特殊函数取函数符合题意，验证A，D正确，B，C错误，故选解析2：抽象函数运算令，可得，因，所以，A正确令可得设，令所以，即即在上单调递增，所以错误令，可得，因所以，所以的图象关于点没有中心对称，所以B错误当时，令，此时，因，所以，所以D正确综上所述：选A，D13.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第13题）解析：系数为14.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第14题）解析：由奇函数可知，则，则，由
10、函数单增，则存在唯一的满足.15.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第15题）解析：设直线方程为，因直线与联立判别式16.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第16题）解析：如图1，外接圆圆心分别为斜边中点，则分别过圆心作相应平面垂线，交点为球心，如图2，因可看成以为圆心的圆，显然可以与重合，则17.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第17题）解析：（1）易知各项均为正，对两边同时取倒数得，即，因为，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，所以，显然单调递增，因为，所以的最大值为1010.18.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第1题）解析：
11、（1）由得，由正弦定理得故，可得即，因为，所以，即；（2），在锐角中，所以.19.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第19题）解析：（1）平均数（2）良种占比为任选一粒种子萌发的概率为这批种子总数远大于2，所以以布列为.（即.0784）（即（即期望（即）（3）以20000粒种子中约有良种（粒）20.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第20题）解析：（1）平面平面（交线为），平面平面平面平面（交线为），平面；，又平面平面平面平面（交线为），同理可得，又平面.（2）【方法一】（几何法）作，垂足为，在中，边上的高，所以，所以二面角的正弦值为，二面角的余弦值为.【方法二】（坐标法）设平
12、面即平面的法向量，由得，取，所以，所以二面角的余弦值为.21.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第21题）解析：（1）设椭圆焦距为，所以，所以椭圆的方程为.设，则，因为，所以，因为为定值，所以，解得得；（2）由得直线，所以，同理得，所以，化简得或，解第一个方程：，得；第二个方程无实根.【方法一】（距离公式）所以，【方法二】（相似三角形）因为，所以.所以，所以.22.2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第22题）解析：（1）的定义域为，令，得或，显然，当分别取时，和随的变化如下表：00单调递减极小值单调递增单调递减极小值单调递增由题意，解得（2）若曲线在处的切线方程为，因为切线与曲线交于另一点，所以方程有两个正实根，整理得，设，显然，显然，设，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，据此作出的大致图象如图；由图可知：当时，在上为正，在上为负，所以在上单调递增，在上单调递减，有极大值，有唯一实根，不合题意；当时，在上单调递增，有唯一实根，不合题意；当时，使得，即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，又当时，所以在上存在另一个实根，符合题意；改：又，所以在区间存在另一个实根，符合题意；当时，使得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，又当时，所以在上存在另一个实根，符合题意；改：又，所以在区间存在另一个实根，符合题意；综上，的取值范围为.