1、第十章 排列、组合、二项式定理和概率第 讲（第一课时）考点搜索相互独立事件的概念，相互独立事件同时发生的概率，以及有一个发生的概率独立重复试验的概念，在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率高考猜想1.利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式，求随机事件的概率.2.结合等可能性事件、互斥事件解决综合性的概率问题.3.概率条件的分析与转化.1.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率_，这样的两个事件叫做相互独立事件.2.事件A、B是相互独立事件，它们同时发生记作_.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的_，即P(AB)=_.AB没有影响积P(A)P(B)3.一般地
2、，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的_，即P(A1A2An)=_.4.如果在n次重复试验中，每次试验结果的概率都_其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立重复试验.5.如果在1次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)=_.积P(A1)P(A2)P(An)不依赖于-(1-)kkn knC pp6.一般地，对相互独立事件A，B，有(1)P(A+B)=_；(2)P(A+B)+P(AB)=_.P(A)+P(B)-P(AB)11.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，
3、那么k的值为()A.0 B.1C.2 D.3解：由，得，即k+(k+1)=5，所以k=2.C5-115-155111()(12)()()222kkkkkkCC 155kkCC 2.一道数学竞赛试题，甲解出它的概率为，乙解出它的概率为，丙解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为()A.49B.C.D.59解：.B112413241231131211123423423424P 1213143.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是 _.解：因为这位司机在第一
4、、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以.134271114(1-)(1-)33327P 1.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.求再赛2局结束这次比赛的概率.题型1求相互独立事件发生的概率解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i=3,4)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j=3,4).设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3A4+B3B4，由于各局比赛结果相互独立，故P(A)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(
5、A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.60.6+0.40.4=0.52.所以再赛2局结束比赛的概率为0.52.点评：相互独立事件的概率求解，先将整个事件进行划分：即分成各个基本事件，这与计数中的分步计数原理类似，划分的标准是这些基本事件发生的概率相互之间是没有影响的；然后求得各基本事件的概率之积，即为所求事件的概率.在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85.则在一天内三台设备都需要维护的概率是多少？解：设甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为A、B、C，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C
6、)=0.85.三台设备都需要维护的概率=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.答：三台设备都需要维护的概率为0.003.1()()()()PP A B CP A P BP C2.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率.解：设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学 生 在 上 学 路 上 遇 到 k 次 红 灯”为 事 件Bk(k=0,1,2).题型2求独立重复事件中事件A恰好发生k次
7、的概率则由题意，得，,.由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，所以事件B的概率为P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=.点评：独立重复试验的概率计算直接按公式计算即可.40216()()381P B113141232()()()3381P BC222241224()()()3381P BC89甲、乙两名职业围棋手进行围棋比赛，已知每赛一局甲获胜的概率为0.6，问比赛采用三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？解：(1)当采用三局两胜制时，设A1表示事件“甲净胜第一、二局”，A2表示事件“前两局甲、乙各胜一局，第三局甲获胜”，则P(A1)=0.62=0.36，.因为A1、A
8、2互斥，所以甲获胜的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.36+0.288=0.648.122()0.6 0.4 0.60.288P AC(2)当采用五局三胜制时,设B1表示事件“甲净胜第一、二、三局”;B2表示事件“前三局甲胜两局,第四局甲胜”;B3表示事件“前四局甲、乙各胜两局,第五局甲胜”,则，.2223()0.60.4 0.60.259P BC22234()0.60.40.60.207P BC31()0.60.216P B 因为B1、B2、B3互斥,所以甲获胜的概率为P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=0.216+0.259+0.207=0.682
9、.因为0.6820.648,故采用五局三胜制对甲更有利.3.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率.题型3求“综合事件”的概率 23解：(1)解法1：.解法2：.即油罐被引爆的概率为.1222212()33333PC11211334212212232()()()()333333243CC1140055521211-()()-()()3333PCC112321-243
10、243232243(2)当=4时记为事件A，则,当=5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B，则，所以所求概率为.即不小于4的概率为.1232124()()33327P AC13442111()()()3339P BC417()()()27927P ABP AP B427点评：综合事件的概率求解，一般先按互斥事件进行分类，然后考虑用等可能性事件、相互独立事件或独立重复试验事件求解基本事件的概率.注意从正面求解较复杂时，从其对立面来解.某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都是“合格”,则该课程考核“合格”.若甲、乙、丙三人在理论考
11、核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7;在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响.(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数).解：设“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，为Ai的对立事件，i=1，2，3，设“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.iA(1)设“理论考核中至少有两人合格”为事件C，为C的对立事件，所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.C1231231
12、23123123123123123()()=()()()()=0.9 0.8 0.7+0.9 0.8 0.3+0.9 0.2 0.7+0.1 0.8 07 =0.902.P CP A A AA A AA A AA A AP A A AP A A AP A A AP A A A(2)设“三个人该课程考核都合格”为事件D.P(D)=P(A1B1)(A2B2)(A3B3)=P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)=P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)=0.90.80.80.70.70.9=0.254.所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.1.如果事件A与B相互独
13、立，则事件A与，与B，与也都相互独立.相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念.两个相互独立事件可以同时发生，其发生的概率相互没有影响，而两个互斥事件不能同时发生，其发生的概率相互有影响.任何两个事件不可能既互斥又相互独立，两两独立的n个事件总起来不一定是独立的.ABAB2.在独立重复试验中，每次试验结果只有两种可能，即要么A发生，要么A不发生，二者必居其一.计算公式就是二项式(1-p)+pn展开式中的第k+1项.3.解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语 的意义.-()(1-)kkn knnP kC pp已知两个相
14、互独立事件A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，那么：A，B中至少有一个发生为事件A+B；A，B都发生为事件AB；A，B都不发生为事件；A，B恰有一个发生为事件；A，B中至多有一个发生为事件.A BA BA BA BA BA B概率A、B互斥A、B相互独立P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)1P(A)P(B)1-P(A)+P(B)P(A)+P(B)11-()()P A P B()P A B()()P A P B()P A BA B()P A BA BA B它们的概率间的关系如下表：()()P A P B()()P A P B()()P A P B()()P A P B()()P A P B