1、河南省郑州市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题1. 设复数，若，则实数（ ）A. 0B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案.【详解】因为，所以，解得故选：A.【点睛】本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.2. 设为任意正数则这三个数（ ）A. 都大于2B. 都小于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】假设三个数均小于2，利用均值不等式得到，得出矛盾，得到答案.【详解】假设三个数均小于2，即，故，而，当时等号成立，这与矛盾，故假设不成立，故至少有一个不小
2、于2，C正确；取，计算排除BD；取，计算排除A.故选：C.【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生的推断能力和计算能力，均值不等式的灵活运用是解题的关键.3. 对两个变量进行回归分析，得到一组样本数据：，则下列说法中不正确的是（ ）A. 由样本数据得到的回归方程必过样本中心B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量之间的相关系数为，则变量之间具有线性相关关系【答案】C【解析】解：样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，R2越大拟合效果越好，故C不正确，当r的值大于0.75时，表示两个变量具
3、有线性相关关系，故选C4. 函数f( x)x22ln x的单调递减区间是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求【详解】由f（x）x22lnx，得：f（x）（x22lnx）2x因为函数f（x）x22lnx的定义域为（0，+），由f（x）0，得：2x0，即（x+1）（x1）0，解得：0x1所以函数f（x）x22lnx的单调递减区间是（0，1）故选A【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题5. 某小
4、区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.】A. 17B. 23C. 34D. 46【答案】B【解析】分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.详解：由题得所以，所以，所以求用电量在320度以上的居民户数为10000.023=23.故答案为B.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.6. 的值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【
5、解析】【分析】根据微积分基本定理结合积分的性质计算【详解】故选：C【点睛】本题考查微积分基本定理，属于基础题7. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件概率求结果【详解】“第一次出现正面”：,“两次出现正面”: ,则故选;A【点睛】此题考查条件概率问题，关键点是读懂每个事件的含义，准确写出其概率表示的是在A事件的基础上B事件的概率是多少8. 随机变量X的分布列为X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a
6、+c,又a+b+c=1所以b=,所以P(|X|=1)=a+c=，故选D.9. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.【详解】令,则,所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,当时,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,结合图像分析,不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.10. 已知一组数据确定的回归直线方程为且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后，重
7、新求得回归直线的斜率为，则当时，（ ）A. 6B. 7C. 8D. 13【答案】B【解析】【分析】由求得，再求出去除两个数据后的的新均值，从而得出新回归方程，根据新回归方程可得结论【详解】由题意，设原来有个数据，则去除两个数据后还有个数据，这个数据的中心点记为，则，设新回归方程为，则，即，时，故选：B【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点11. 两名同学分4本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】两名同学分4本不同的书，先利用排列组合求出基本事件总数，再求出其中一人没有分到书，另一人
8、分得4本书包含的基本事件个数，由此能求出其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率【详解】解：两名同学分4本不同的书，基本事件总数，其中一人没有分到书，另一人分得4本书包含的基本事件个数，其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率故选：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题12. 关于的方程的不等实根的个数为（ ）A. 1B. 3C. 5D. 1或5【答案】B【解析】【详解】【分析】设，所以函数在上单调递增，在递减，且当，当由此画出函数草图，如图所示：关于x的方程 ,令，故有两个不同的解，又，所以无论如何与函数图像都有3个交点点睛：根据题意此
9、题属于复合方程求零点的问题，解复合方程首先要分析此方程中函数的草图，然后将函数f(x)看成一个变量去求解二次函数的解的个数，然后再研究f(x)图像与二次函数的解的交点个数即为复合方程的解的个数.二、填空题13. 二项式的展开式中，常数项是_.【答案】20【解析】【分析】写出展开式通项公式，由的指数为0可得常数项的项数，从而得常数项【详解】由题意展开式通项公式为，令，所以常数项为故答案为：20【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键14. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 【答案】24【解析】试题分析：不相邻问题用插空法：先排三把空椅，产生四个间隔，
10、再在四个间隔中安排3人，共有种坐法考点：不相邻问题15. 观察下面的三角形数组，可以推测：该数组第10行的和为_.【答案】3025【解析】【分析】根据题意分别列举出每一行的和，并找到规律，归纳总结即可【详解】解：第一行的和为；第二行的和为；第三行的和为；第四行的和为；第十行的和为；故答案为：3025【点睛】本题考查归纳推理，考查学生逻辑思维能力和计算能力，找到每行中和的规律为解题的关键，属于中档题16. 已知函数与的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为_.【答案】【解析】分析】设切点为，根据已知得，求出，得，构造函数，求出的范围即可.【详解】设切点为，则
11、，整理得，由，解得.由上可知，令，则.因为，所以在上单调递减，所以，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17. 已知复数满足（是虚数单位）.求：（1）；（2）.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】(1)易得,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得再计算求模长即可.【详解】(1)由题.即(2)由(1),故,故.即【点睛】本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题.18. 在二项式的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中
12、各项的系数和【答案】（1）;（2） .【解析】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为， ，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令计算的大小，即可得答案.试题解析：（1）由已知得， ，展开式中二项式系数最大的项是（2）展开式的通项为， 由已知：成等差数列，n=8, 在中令x=1，得各项系数和为 19. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间.【答案】（1）（2）当时增区间，当时增区间，减区间【解析】试题分析：（1）当时，求得切点为，求得斜率为，故切线方程为；（2）函数的定义域为，当时，恒成立，函数单调递增，当时，在
13、上单调递减，在上单调递增.试题解析：（1），即，由导数的几何意义可知所求切线的斜率，所以所求切线方程为，即.（2），当时，恒成立，在定义域上单调递增；当时，令，得，得；得；在上单调递减，在上单调递增.考点：导数与切线、单调区间20. 已知数列满足，求证：数列是递增数列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】若，要证是递增数列即证对任意成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可【详解】证明：若，要证是递增数列.即，即证对任意成立.下面用数学归纳法证明：当时，对任意成立.当时，结论成立假设当（，）时结论成立，即因为函数在区间内单调递增，所以，当时，成立.由，知，对任意，成立.因此，即是递增数列.点睛
14、】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6天潜
15、伏期6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为，则的期望是多少？附：0.050.0250.0103.8415.0246.635其中.【答案】（1）表格见解析，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（2）8.【解析】【分析】（1）从已知数据知潜伏期有的有600人，超过6天的有400人，由分层抽样按比例可得潜伏期不超过6天的抽样人数及超过6天的抽样人数，由此可填写列联表，计算后可得结
16、论；（2）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则服从二项分布：，由二项分布的期望公式可直接得期望【详解】（1）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则，经查表，得，所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.（2）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则服从二项分布：，则，所以，的期望为.【点睛】本题考查统计图表，考查分层抽样、列联表、独立性检验，考查二项分布及其期望，主要考查
17、了学生的数据处理能力，运算求解能力属于中档题22. 已知函数的极大值为，其中为常数，为自然对数的底数.（1）求的值；（2）若函数，对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）本小题先求导函数，再根据单调性求解即可.（2）本小题先将不等式恒成立问题转化为函数恒大于零的问题，再分类讨论解题即可.【详解】（1）的定义域为，令，解得：，令，解得：，所以当，为增函数，当，为减函数，所以时，有极大值，所以；（2）由（1）知，则，即对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立设，则对恒成立，设，原问题转化为：对恒成立，若，当时，则，不合题意；若，则对恒成立，符合题意若，则，令，令，所以当时，为减函数，当时，为增函数，所以，即，即；综上.【点睛】本题考查导函数研究函数单调性，极值，最值以及不等式恒成立问题，过程中使用了转化与化归的数学思想和分类讨论的数学思想，属于压轴题.