1、第2课时函数yAsin(x)的性质及应用知识点一求函数yAsin(x)的解析式1. 右图是周期为2的三角函数yf(x)的部分图象，那么f(x)的解析式可以是()Af(x)sin(1x)Bf(x)sin(1x)Cf(x)sin(x1)Df(x)sin(1x)答案D解析由图象过点(1,0)，排除A，B；由x0时，y0，排除C.故选D.2. 已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()Af(x)2sin Bf(x)2sinCf(x)2sin Df(x)2sin答案B解析由图象可知，所以T2，1.又因为sin0，且0，所以.由图象可知A2，所以f(x)2sin，故选B
2、.3. 已知函数yAsin(x)B的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是()AA3，T2 BB1，2CT4， DA3，答案C解析由题图得解得T24，.又2k，kZ，2k，kZ，又|0，|的图象关于直线x对称，且它的周期是，则()Af(x)的图象过点Bf(x)在上是减函数Cf(x)图象的一个对称中心是Df(x)的最大值是A答案C解析因为函数的周期是，所以，即2，所以f(x)Asin(2x)又因为函数f(x)Asin(2x)的图象关于直线x对称，|0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，由2
3、kx2k，kZ，得x，kZ，因为f(x)在上单调递增，所以解得4k2k，kZ.又4k0，且2k0，kZ，解得k1，所以.12(多选)关于函数f(x)2cos2xcos1的描述正确的是()A其图象可由ysin2x的图象向左平移个单位得到Bf(x)在上单调递增Cf(x)在0，内有2个零点Df(x)在上的最小值为答案ACD解析f(x)2cos2xcos1cos2xsin2xsin，由ysin2x的图象向左平移个单位，得到ysinsin，所以A正确；令2k2x2k，kZ，得其单调递增区间为，kZ，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以B不正确；解f(x)0,2xk，kZ，得x，kZ，x0，所以x
4、取，所以C正确；当x时，2x，sin，f(x)，1，所以D正确故选ACD.13(多选)若函数ysin2xmcos2x的图象关于直线x对称，则()AmB函数的最大值为C.为函数图象的一个对称中心D函数在上单调递增答案ABCD解析ysin2xmcos2xsin(2x)(其中tanm)，因为函数ysin2xmcos2x的图象关于直线x对称，则2k(kZ)，所以k(kZ)，则tanm，所以m，A正确；又ysin2xcos2xsin，则函数的最大值为，B正确；令2xk，kZ，所以x，kZ，当k1，x，则为函数图象的一个对称中心，C正确；令2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ，当k0时，为增区间，即函数在
5、上单调递增，D正确故选ABCD.14设函数f(x)sin(x)(0)的图象关于直线x1和直线x2均对称，则f(0)的所有可能取值是_答案1，解析因为函数f(x)sin(x)(0)在对称轴处取得最大值或最小值，所以(k1，k2Z)，消去得(kZ)，则f(0)sinsin(kZ)当k6m，mZ时，f(0)1；当k6m1或6m5，mZ时，f(0)；当k6m2或6m4，mZ时，f(0)；当k6m3，mZ时，f(0)1.15已知方程2sin1a，x有两解，求a的取值范围解由题意2sina1.令y2sin，ya1，用五点作图法作出函数y2sin在上的图象如图显然要使ya1与图象有两个交点，只需2a10或a
6、12.即3a1或a1.a的取值范围是a|3a1或a116. 函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，B，C为图象上相邻的最高点和最低点，将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象(1)求函数f(x)的最小正周期及解析式；(2)求函数g(x)在上的最大值和最小值解(1)由图象知，A，2，T6，故f(x)sin.又由f(x)的图象过点(2,0)，得sin0.又因为|0，|)的部分图象如图所示，则其解析式为_易错分析本题在求出或后，容易忽略所给图象的最高点在y轴的左侧，而直接由得4或2.从而得到所求的解析式为y2sin或y2sin.答案y2sin正解由图可知A2，且当x0时，y
7、，2sin，|0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于点对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于直线x对称答案A解析由T可得2，fsin0.f(x)的图象关于点对称，令2xk(kZ)，则该函数图象的对称轴为x(kZ)，故直线x和直线x均不是该函数图象的对称轴故选A.3设点P是函数f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是()A2 B C. D.答案B解析由题意得f(x)的最小正周期为4.4. 函数yAsin(x)(A0，0)的部分图象如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(2022)的值等于()A. B22 C.2 D.2答案
8、A解析由图象可知A2，2k，kZ，T8，8，即，f(x)2sin.周期为8，且f(1)f(2)f(8)0，f(1)f(2)f(2022)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)2sin2sin2sin2sin2sin2sin.5. 如图，是一半径为3 m的水轮，水轮截面圆的圆心O距离水面2 m已知水轮上一点P自点P0开始旋转，15 s旋转一圈，点P的纵坐标y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式yAsin(t)2，则有()A，A3 B，A3C，A5 D，A5答案A解析因为T15，所以，显然ymaxymin6，故A3.6已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，0)个单位，所
9、得图象关于y轴对称，则的最小值为()A. B. C. D.答案D解析f(x)cosxsinx2cos，向左平移个单位得到y2cos，由题意y2cos是偶函数，所以k(kZ)，即k(kZ，0)故当k1时，的最小值为.8若在区间(n，m)上，函数f(x)2cos2x的图象总在函数g(x)74sinx的图象的上方，则mn的最大值为()A. B. C. D.答案D解析根据题意，函数f(x)2cos2x的图象总在函数g(x)74sinx的图象的上方可以转化为2cos2x74sinx恒成立，即2cos2x74sinx0.根据二倍角公式化简为4sin2x4sinx90sinx.因为sinx1,1，所以sin
10、x.在一个周期上画出图象可得x，所以(mn)max.二、多项选择题9已知点P是函数f(x)sin(x)m的图象的一个对称中心，且点P到该函数图象的对称轴的距离的最小值为，则()Af(x)的最小正周期是Bf(x)的值域为1,3CDf(x)在区间上单调递增答案BD解析由题意，得且函数的最小正周期T42，故1.代入式，得k(kZ)又|，所以，所以f(x)sin2.故函数f(x)的值域为1,3，A，C错误，B正确令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，令k1，则x，故f(x)在上单调递增，D正确故选BD.10已知a是实数，则函数f(x)1asinax的图象可能是()答案ABC解析当a0时，f(x)
11、1，C符合；当0|a|2，且最小值为正数，A符合；当|a|1时，T1，故可得T2，矛盾，D不可能故选ABC.11关于f(x)4sin(xR)，下列命题正确的是()A由f(x1)f(x2)0可得x1x2是的整数倍Byf(x)的表达式可改写成y4cosCyf(x)的图象关于点对称Dyf(x)的图象关于直线x对称答案BC解析对于A，由f(x)0，可得2xk(kZ)x(kZ)，x1x2是的整数倍，A错误；对于B，由f(x)4sin可得f(x)4cos4cos，B正确；对于C，f(x)4sin的图象的对称中心满足2xk，kZ，x，kZ.点是函数yf(x)的图象的一个对称中心，C正确；对于D，函数yf(x
12、)的图象的对称轴满足2xk，kZ.x，kZ，D错误12. 函数f(x)Acos(x)(0)的部分图象如图所示，则以下结论正确的是()Af(x)的最小正周期为2Bf(x)图象的一条对称轴为直线xCf(x)在区间(kZ)上单调递减Df(x)的最大值为A答案AC解析由题图可知，函数f(x)的最小正周期T22，故A正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线xk(kZ)，故直线x不是函数f(x)图象的对称轴，故B不正确；由图可知，当kTxkT(kZ)，即2kx2k(kZ)时， f(x)单调递减，故C正确；若A0，则最大值是A，若A0，则最大值是A，故D不正确三、填空题13在函
13、数y2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是_答案解析由4xk，kZ，得x，kZ，所以当k1时，x，即离原点最近14若函数f(x)cos是奇函数，则_.答案解析由题意可知k，kZ，即k，kZ.又|，故k0，.15. 右图是f(x)Asin(x)的一段图象，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)2sin解析由图可得A2，T，T，2.又函数在x时取最大值，2，f(x)2sin.16已知函数f(x)cos2xsin2，则f_，该函数的最小正周期为_答案0解析由题意可得，f(x)cos2xsin，所以fsin0，函数的最小正周期T.四、解答题17函数f(x)3sin的部分图象如图所
14、示(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)的最小正周期为，x0，y03.(2)因为x，所以2x.于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.18. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮逆时针转动，每分钟转动5圈，如果水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数；(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？解(1)建立如图所示的直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟所转过的
15、角为，则OP在时间t内所转过的角为t.由题意知水轮逆时针转动，则z4sin2.当t0时，z0，得sin，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，由t，得t4，故点P第一次到达最高点需要4 s.19已知函数f(x)AsinB，且ff7，f()f(0)2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用“五点作图法”作出函数yf(x)在一个周期内的图象；(3)讨论函数yf(x)的性质(定义域、值域、奇偶性、最小正周期、单调性)解由题意可得Asin0BAsinB7，AsinBAsinB2.解得A2，B3.(1)y2sin3.(2)列表：xx02y35313描点、连线，如下图所
16、示(3)定义域：R，值域：1,5奇偶性：非奇非偶函数最小正周期：2.单调递增区间：(kZ)，单调递减区间：(kZ)20已知函数f(x)Asin(x)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x，求f(x)的值域解(1)由题意作出f(x)的简图如图由图象知A2，由2，得T4，4，即，f(x)2sin，f(0)2sin1，又|，f(x)2sin.f(x0)2sin2，x02k，kZ.x04k，kZ，又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，x0.(2)由2kx2k，kZ，得4kx4k，kZ，f(x)的单调递增区间为(kZ)(3)x，x，sin1，f(x)2，故f(x)的值域为，2