1、第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质知识点一用不等式、不等式组表示不等关系1下列说法错误的是()A某人月收入x不高于2000元可表示为“x2000”B小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“xy”C某变量x至少是a可表示为“xa”D某变量y不超过a可表示为“ya”答案D解析“不超过”应该为“小于等于”，故D错误2用不等式表示下列关系：(1)x为非负数；(2)x为实数，而且大于1不大于6；(3)x与y的平方和不小于2，而且不大于10.解(1)x0.(2)xR且1x6.(3)2x2y210.3用不等式表示下列关系：(1)最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；(2
2、)限制质量：装载总质量G不得超过10 t；(3)限制高度：装载高度h不得超过3.5米；(4)限制宽度：装载宽度a不得超过3米解(1)v50.(2)G10.(3)h3.5.(4)a3.4某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的数量总和不能超过驾驶员人数(2)车队每天至少要运360 t矿石(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7
3、辆要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：即5如图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地仓库的长L大于宽W的4倍写出L与W的关系解由题意，得知识点二用不等式比较大小6已知a，b(0,1)，记Mab，Nab1，则M与N的大小关系是()AMN BMN CMN D不确定答案B解析MNab(ab1)abab1(a1)(b1)a，b(0,1)，a10，b10，MN.7已知a，b，c均为正实数，若，则a，b，c的大小关系为()Acab BbcaCabc Dcba答案A解析a，b，c均为正实数，c(bc)a(ab)，bcc2a2ab，移项后因式分解得，(ac)(abc
4、)0，ac，同理ba.cab，故选A.8有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知abcd，adbc，acbc，ad(ab)bc(cd)，即ac，bd.又acb，abac.最重的小球为丁，最轻的小球为丙9已知a，b，c这三个实数中至少有一个不等于1，试比较a2b2c2与2a2b2c3的大小解a2b2c2(2a2b2c3)a22a1b22b1c22c1(a1)2(b1)2(c1)2.a，b，c这三个数中至少有一个不等于1，a1，b1，c1中至少有一个不为0.(a1)2(b1)2(c1)20.a2b2c22a2b2c3.知识点三用不等式的性质判断命题真假10
5、下列命题正确的是()A若acbc，则ab B若a2b2，则abC若，则ab D若，则ab答案D解析对于A，若c0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a0，其不成立；对于C，若a0，b0，其不成立；对于D，若0，从而，故正确；对于D，只有当ab0，cd0时，acbd，故错误故选BC.12(多选)下列命题中，一定正确的是()A若ab，且，则a0，bb0，则1C若ab，且acbd，则cdD若ab，且acbd，则cd答案AB解析对于A，0，又ab，ba0，ab0，b23，但c(2)3，但1ba|c|b|c|；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正确的命题序号是_答案解析当c0时不成
6、立一定成立当ab时，a3b3(ab)(a2abb2)(ab)0，成立当b3，但22(3)2.14判断下列各命题的真假，并说明理由(1)若ab，c0，则bc3，则ab；(3)若ab，且kN*，则akbk；(4)若ab，bc，则abbc.解(1)a0，不一定成立，推不出，是假命题(2)当c0时，c30，有ab，bc这两个条件，但是ab2bc3，是假命题知识点四用不等式的性质证明不等式15(1)已知ab0，求证：；(2)已知ab，求证：ab0.证明(1)证法一：abb0，0，0ba, 相乘得b0，cd0，求证： .证明证法一：ab0，cd0，acbd0.又cd0，0，acbd0，0， .证法二：0.
7、证法三：ab0，cd0，acbd0，cd0，acbd0，220.22， .知识点五用不等式的性质求取值范围18若4a6,2b4，则a2b的取值范围是()A8a2b2 B12a2b2C12a2b2 D8a2b2答案B解析2b4，4b2，82b4，又4a6，12a2b2.故选B.19若1a5，2b1，则的取值范围是_答案5解析2b1，1，1.又1a5，5，5.20已知12ab4，1a2b2，求10a5b的取值范围解令10a5bx(2ab)y(a2b)(2xy)a(x2y)b，则解得10a5b3(2ab)4(a2b)12ab4，1a2b2，33(2ab)12，44(a2b)8，13(2ab)4(a2
8、b)20，即110a5b20，故10a5b的取值范围为110a5b20.易错点一多次非同解变形，导致所求范围扩大若1ab2,2ab4，则4a2b的范围是()A34a2b12 B34a2b12C54a2bb Bab Ca0，ab.3若mn，pq，且(pm)(pn)0，(qm)(qn)0，则m，n，p，q的大小关系是()Ampqn BpmqnCmpnq Dpmnq答案A解析由mn，(pm)(pn)0，得mpn，同理，mqn.又pq，mpqb0，则b，那么c2ab，ef，则facb，则b00b2a2bc2ab，ef fac0b时，显然，错误故选B.6已知xyz，xyz0，则下列不等式中成立的是()A
9、xyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|答案C解析因为xyz，xyz0，所以3xxyz0,3zxyz0，所以x0，z0.所以由可得xyxz.故选C.7甲、乙两人同时沿同一路线从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A甲先到教室 B乙先到教室C两人同时到教室 D谁先到教室不确定答案B解析设甲、乙两人的步行速度与跑步速度分别为v1和v2，从寝室到教室的总路程为2s，显然0v1v2，则甲从寝室到达教室所用的时间为，设乙从寝室到达教室所用的时间为t，则v1v22s，所以乙从寝室到达教室所用的时间为，而0，故，乙先到教室
10、故选B.8已知1xy4,2xy3，则3x2y的取值范围为()A13x2y18 B3x2yC13x2y18 D3x2y答案D解析设3x2ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，则所以所以3x2y(xy)(xy)因为1xy4,2xy3，所以(xy)10,1(xy)，所以(xy)(xy)，即3x2y.故选D.二、多项选择题9若0，则下列不等式中正确的是()Aab|b|Ca2答案AD解析0，a0，b0，ab，故C错误；ab0，ab0，abab，故A正确；又0ab，|a|b|，故B错误；2，且ab0，ab0，2，故D正确故选AD.10下列命题中正确的是()Aab，cdacbdBab，cC|a|b0a
11、nbn(n2k，kN*)D.ab(nN*且n1)答案CD解析A不正确，令a5，b4，c3，d1，有acb0，c0时，显然有b0|a|nbn，因为n为偶数，所以|a|nan，所以|a|b0anbn(n2k，kN*)；D正确，因为若0，则ab；若0，则|0，从而|b|a|.又a0，ba，即ab；若0，b成立，当0，0，0时，ab也成立所以ab(nN*且n1)故选CD.11若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()AacC. Da2abb2答案BD解析因为c为实数，所以取c0，则ac0，bc0，此时acbc，故A不正确；，因为ab0，ab0，所以0，即，故B正确；因为ab0，所以取a2，b
12、1，则，2，所以此时，故C不正确；因为ab0，所以a2ab.同理abb2.故D正确12“2019女排世界杯”期间，中国球迷一行62人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满则A队可能有出租车()A10辆 B11辆 C12辆 D13辆答案BC解析设A队有出租车x(x0，xN)辆，则B队有出租车(x3)辆，由题意得解得10x12，又xN，x11或12.故选BC.三、填空题13给出下列四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0
13、，其中能推得成立的是_(填序号)答案解析0，能使它成立14若13，42，则|的取值范围是_答案3|3解析42，0|4，4|0，3|3.15一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2200 km，写出不等式为_；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为_答案8(x19)22009(x12)解析由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2200 km，则8(x19)2200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即9(x12)16已知a
14、b0，则与的大小关系是_答案解析.a2b20，只需判断a3b3ab2a2b的符号a3b3ab2a2ba2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)0，当且仅当ab时等号成立，.四、解答题17有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：现在要在一天内至少运输2000 t粮食和1500 t石油写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式解设需安排x艘轮船和y架飞机，由题意可得安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式为即18(1)比较x61与x4x2的大小，其中xR；(2)设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2
15、z2的大小解(1)x61(x4x2)x6x4x21x4(x21)(x21)(x21)(x41)(x21)2(x21)0.当x1时，x61x4x2；当x1时，x61x4x2.综上所述，x61x4x2，当且仅当x1时取等号(2)(5x2y2z2)(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号19已知实数x，y满足4xy1，14xy5，求9x3y的取值范围解设9x3ya(xy)b(4xy)(a4b)x(ab)y，9x3y(xy)2(4xy)，14xy5，22(4xy)10，又4xy1，69x3y9.20(1)若bcad0，bd0，求证：；(2)已知a，b，m均为正数，且ab，求证：.证明(1)证法一：bcad0，bcad.bd0，11，即.证法二：，adbc0，bd0，0，.(2)，ab，ba0，又m，b均为正数，0，.