1、河北省张家口市2021届高三数学上学期第一阶段检测试题（含解析）一、选择题1. 设全集，集合，则实数的值是（ ）A. 3B. 10C. 2D. 2或10或3【答案】A【解析】【分析】由题意得出，得或，结合互异性得出答案.【详解】，或解得（舍），（舍），故选：A2. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据幂函数、知识函数的图象与性质可判断A，B，D的单调性，然后利用导数判断C选项的增减性【详解】对于A选项，函数为偶函数，在上递增，在上递减；对于B选项，函数在上递减；对于C选项，在上恒成立，则函数在其定义域上递增；对于D选项，函数在上递减.
2、故选：C3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用任意角的三角函数的定义求得正余弦，再利用二倍角公式求即可.【详解】角终边过点，由任意角的三角函数的定义得，故.故选：C.4. 已知非零向量，满足，则实数值为（ ）A. B. 8C. D. 3【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，根据条件进行数量积的运算即可求出实数的值【详解】，且；故选：C5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 51B. 57C. 54D. 72【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B
3、6. 已知，则的最小值是（ ）A. 6B. 8C. 4D. 9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的换“1”法，得到，进而利用基本不等式求解即可【详解】则当且仅当，即时取等号故选:D.7. 若，满足约束条件，则最大值、最小值分别是（ ）A. 6，0B. 4，0C. 无最大值，6D. 无最大值，4【答案】D【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，由题得，它表示斜率为，纵截距为的直线，再利用数形结合求函数的最值.【详解】不等式组对应的可行域是如图所示的阴影部分区域，由题得，它表示斜率为，纵截距为的直线，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最小，直线的纵截距没有最大值，所以没有最大值.联立直线
4、得得.所以，没有最大值.故选：D【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系为参数)；（6）观察图形，找到直线为参数)在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.8. 已知函数，其中若函数的最大值记为，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】分析】首先配方求出，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以当时当且仅当，即时取等号故选：D9. 已知函数，则（ ）A. B. C. D.
5、【答案】ABD【解析】【分析】根据函数解析式，逐项计算，即可得出结果.【详解】因为，所以，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确.故选：ABD.10. 在中，角、的对边分别是、下面四个结论正确的是（ ）A. ，则的外接圆半径是4B. 若，则C. 若，则一定是钝角三角形D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC11. 在等差
6、数列中，公差，前项和为，则（ ）A. B. ，则C. 若，则中的最大值是D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及，根据数列为等差数列可求得.【详解】对于，因为，且，所以，所以，故正确；对于，因，所以，即，即，因为，所以，所以，即，故不正确；对于，因为，所以，所以，即，当时，等差数列递增，则，所以中的最小值是，无最大值；当时，等差数列递减，则，所以中的最大值是，无最小值，故不正确；对于，若，则，时，因为数列为等差数列，所以，
7、故正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前项和公式是解题关键.12. 给出下列四个条件：；其中能成为的充分不必要条件的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】由可得，所以；由不能推出（如）；所以是的充分不必要条件；由可得；由也能推出；所以是的充要条件；由可得，则，不能推出；由也不能推出（如，），所以是的既不充分也不必要条件；由可得，即能推出；但不能推出（因为的正负不确定），所以是的充分不必要条件.故选：AD.【点睛】结论点睛：判定命题的充分条件和必要条件，一般根据充分条
8、件和必要条件的概念，直接判断；有时也根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含二、填空题13. 函数的最小正周期为_【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为 ，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期【详解】函数，所以函数的最小正周期是，故答案为：【点睛】由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.14. 已知集合，若，则实数
9、的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求出集合A，在根据包含关系列出不等式即可求出.【详解】可得，解得.故答案为：.15. 在中，则的最小值为_，若，则_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先计算，展开利用向量的数量积运算法则得到关于的表达式，然后求出最值；当时，利用则可得到关于的方程，求解即可【详解】因为，所以所以若，则，即，整理得：，所以，解得：.故答案为：；【点睛】方法点睛：本题考查平面向量数量积的运用，其中难点为利用平面向量求解向量模长的最值，一般地，已知向量，及向量与的夹角，求解及最值时，利用平面向量数量积的运算法则先计算，利用求解16. 已知数列，若数列的前项和，则的值
10、为_【答案】16【解析】【分析】由数列与的关系运算即可得解.【详解】的前项和为，.故答案为：.三、解答题17. 在中，内角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理将化为，再利用余弦定理可求出角，（2）由（1）可得，再利用三角形的面积公式可求出其最大值【详解】解：（1）由正弦定理得（*）由余弦定理：，且（2）当时，由（*）得：，当且仅当时取等号所以【点睛】关键点点睛：此题考查正余弦定理的应用，解题的关键对利用基本不等式可求，从而可求出面积的最大值，考查计算能力，属于中档题18. 已知，对任意正整数，中，；，；设数列的
11、前项和为，从这三个条件中任选一个，补在下面问题中，并作答：在数列中，_，若，求数列的前项和【答案】具体选择见解析，.【解析】【分析】任选一个条件都可得到，再利用错位相减法求出.【详解】选择条件，令，可得，即，是首项为1，公差为1的等差数列，；选择条件，可得，则是首项为1，公差为的等差数列，；选择条件，时，时，满足，；所以任选一个条件都可得到，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.19. 已知
12、向量，且函数（1）求函数在时的值域；（2）设是第一象限角，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解；（2）转化条件为，进而可得，再由诱导公式及三角恒等变换化简即可得解.【详解】（1）由题意，由可得，所以，所以在时的值域为；（2），则即，又为第一象限的角，.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对三角函数图象与性质的熟练掌握及三角恒等变换的灵活运用.20. ，（1）当时，求的的取值范围；（2）解关于的不等式的解集；（3）对于任意的，恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，；（3）【解析
13、】【分析】（1）由题意得，从而可求出的取值范围；（2）由题意得，即，然后分，求解即可；（3）由，得对称轴为，然后分和两种情况求出的最小值，使其最小值大于，可求得的取值范围，或由等价于，构造函数，利用导数求其最小值即可【详解】解：（1）当时，即（2）由，得 ，即，当时，当时，当时，（3），恒成立法一：（！）当，即时，即（！）当，即时即，无解由（！）（！）得（法二），即等价于令则，恒成立在单调递增即【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题，解题的关键是由，得对称轴为，然后分和两种情况求出的最小值，使其最小值大于，考查计算能力和分类讨论的思想，属于中档题21. “绿水青
14、山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方公里，求：（1）第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）通项公式；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（）【答案】（1）；（2）；（3）至少6年.【解析】【分析】（1）由题意得化简可得答案；（2）由（1）得，整理得
15、，再求得，从而得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求得答案；（3）由（2）得，整理并在两边取常用对数可求得从而得出结论【详解】解：（1）由题意得，所以；（2）由（1）得，又，所以，是以为首项，为公比的等比数列，；（3）由（2）得，两边取常用对数得：，所以，至少经过6年，绿洲面积可超过60%【点睛】思路点睛：解决数列应用题时，常用的解题思路是审题-建模-研究模型-返回实际研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律由特殊到一般归纳总结；(3) 与通项公式有关或与前n项和有关等22. 已知函数，（1）求的单调区间；（2）
16、若，方程无实数根，求的最大值【答案】（1）得单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）0.【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数和单调性的关系求单调区间；（2）方程转化为在内无实根，通过设函数，导数，讨论的取值范围，利用函数性质判断函数的零点，求的最大值.【详解】解：因为所以令得：，得：，所以得单调递减区间为，得单调递增区间为，（2），即，所以要使方程无实数根，即要在内无解，亦即要在内无实根令函数，只需在上无零点当时，在内恒成立，所以在内单调递减，在内也单调递减又，所以在内无零点，在内也无零点，满足条件当时，则在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增又所以在内无零点，又因为，且故在内有一个零点，不满足条件综上所述，要使方程无实根，的最大值为0.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.