1、第十章 排列、组合、二项式定理和概率第 讲（第一课时）考点搜索二项式定理，二项展开式及其通项公式二项式系数及其性质高考猜想1.利用通项公式解决二项展开式中的项与系数问题.2.利用二项式定理求近似值、求余数、证明不等式等.1.对于nN*，(a+b)n=_，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a+b)n的_.2.二项展开式中各项的系数(r=0，1，2，n)叫做_；二项展开式的第r+1项叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，Tr+1=_.3.与首末两端_的两个二项式系数相等.rnC01-1-1-1nnnnnnnnnnC aC a bC abC b二项展开式二项式系数-(0,1,
2、2,)rn rrnCab rn等距离4.二项式系数的前半部分是_，后半部分是_，且在中间取得_.5.当n为偶数时，二项展开式的项数为奇数，正中间一项的二项式系数是_；当n为奇数时，二项展开式的项数为偶数，正中间两项的二项式系数是_.6._；_(所有偶数项的二项式系数之和等于所有奇数项的二项式系数之和).012nnnnnCCCC024135nnnnnnCCCCCC递增的递减的最大值2nnC-1122nnnnCC和2n2n-11.的展开式中的常数项是()A.14B.-14C.42D.-42解：设的展开式中的第r+1项为，当，即r=6时，它为常数项，所以常数项为.A371(2-)xx371(2-)x
3、x-3(7-)3 7-7-21771(2)(-)2(-1)rrrrrrrrrTCxCxx-3(7-)02rr6617(-1)214C2.已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|等于()A.29B.49C.39D.1解：x的奇数次方的系数都是负值，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a3+-a9.所以已知条件中只需令x=-1即可.故选B.B3.已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是 _.解：因为的展开式中各项系数和为128，所以令x=1，即得所有项系数和为2n=128，所以n=7.设该二项展开式中
4、的第r+1项为，令,即r=3时，x5项的系数为=35.35-1332()nxx-1332()nxx63-1156r-163-1137-362177()()rrrrrrTCxxCx 37C1.如果在的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，,由题意得,解得n=8.题型1 求二项展开式中的项41()2nxx(-1),28nn n(-1)2128nn n 设第r+1项为有理项，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.所以展开式中的有理项为T1=x4，.点评：熟记二项展开式的通项公式是求指定项的基础，求解过程中注意项的符号、系数、字母、字母指数四个方面.16-
5、341812rrrrTCx 592351,8256Tx Tx已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是143，求展开式中的常数项.解:依题意有=143,化简得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不符合题意,舍去).设该展开式中第r+1项为所求的项，则.令,得r=2.故展开式中的常数项为第三项,且.21()3nxx42:nnCC10-10-52-2211010(3)3rrrrrrrTC xxC x 10-502r 2-2310 35TC2.(1)求(1+2x-x2)(1-x)10的展开式中x4的系数.(2)求(1+x)+(1+x)2+(1+x)15的展开式中x3的系数.解
6、：(1)因为(1-x)10展开式中x4，x3，x2的系数分别为，所以展开式中合并同类项后x4的系数是.题型2 求二项展开式中指定项的系数432101010,-,CCC432101010-2-75CCC(2)原式=.因为(1+x)16的二项展开式中x4的系数是=1820，所以原式的展开式中x3的系数是1820.点评:多个二项式运算结果中的指定项的系数求解问题,涉及到多个项的搭配,在配凑过程中,一是注意不要遗漏某些对应项,如第(1)问中的第一个式子中的常数项、一次项、二次项分别对应第二个式子中的四次项、三次项、二次项;二是注意一些公式的转化变形;如第(2)问中的多个求和式子可利用求和公式将其转化.
7、1516(1)(1)-1(1)1-1(1)-1xxxxxx 416C求的展开式中的常数项.解法1：.得到常数项的情况有：三个括号中全取-2，得(-2)3；一个括号中取|x|，一个括号中取,一个括号中取-2，得，所以展开式中的常数项为(-2)3+(-12)=-20.31(|-2)|xx31111(|-2)(|-2)(|-2)(|-2)|xxxxxxxx1|x1132(-2)-12C C解法2：.设第r+1项为常数项，则令6-2r=0，得r=3.所以展开式中常数项为.3611(|-2)(|-)|xxxx6-166-261(-1)()(|)|(-1)(|),rrrrrrrrTCxxCx 3346(-
8、1)-20TC3.(1)求(1-3x)8的展开式中各项系数的绝对值之和.(2)求(1+2x)12(2-x)8的展开式中x的奇次幂的系数之和.解:(1)设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+a8x8.其中a0,a2,a4,a6,a80,a1,a3,a5,a70.取x=-1，则|a0|+|a1|+|a2|+|a8|=a0-a1+a2-a3+a8=(1+3)8=48.题型3 求展开式中的系数和(2)因为(1+2x)12(2-x)8的展开式中x的最高次幂为20,从而可设(1+2x)12(2-x)8=a0+a1x+a2x2+a20 x20.取x=1,则a0+a1+a2+a20=312.取x=-1,则
9、a0-a1+a2-+a20=38.-,得a1+a3+a5+a19=312-382=4038.故展开式中x的奇次幂的系数之和为4038.点评:求展开式中的系数和问题,一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a8x8，则a1+a2+a3+a8=_.解：令x=1，则a0+a1+a2+a8=2+22+28=510.令x=0，则a0=8，所以a1+a2+a8=502.502(1)已知(1+2x)6的展开式中第2项大于它的相邻两项，求x
10、的取值范围；(2)已知(1+x+mx2)10的展开式中x4的系数大于-330，求m的取值范围.参 考 题参 考 题题型求二项式中参数的取值范围解：(1)因为，由已知，所以，即，解得，所以x的取值范围是().0116261,2,TCTCx22236(2)60TCxx112(5-1)0 xxx11125x 11,12 52123TTTT21211260 xxx(2)因为.由此可知,上式中只有第三、四、五项的展开式中含有x4项,其系数分别为：.由已知,-330.化简整理,得m2+8m+120,即(m+2)(m+6)0.所以m-2或m-6,故m的取值范围是(-，-6)(-2，+).102 10(1)1
11、(1)xmxx mx 1222333101010444101010101(1)(1)(1)(1)(1)C xmxC x mxC x mxC x mxLC xmx 223241010310,C mC C m C223241010310C mC C mC1.展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数，解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析.2.二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念.一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a、b的取值有关，而二项式系数与a、b的取值无关.3.有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式求解，结合方程思想进行求值，通过解不等式求取值范围.4.求展开式中的系数和，一般通过对a、b适当赋值来求解；对求非二项式的展开式系数和，可先确定其展开式中的最高次数，按多项式形式设出其展开式，再赋值求系数和.